Méthodes asymptotiques en mécanique

Ce livre est consacré aux méthodes asymptotiques en mécanique. Il s?agit des techniques générales d?analyse des problèmes de mécanique contenant un ou plusieurs paramètres adimensionnels dont la valeur numérique est petite devant 1.
Malgré le développement important du calcul numérique en mécanique, l?analyse asymptotique reste un outil puissant dans de nombreuses situations où le calcul numérique est insuffisant pour comprendre les phénomènes physiques mis en jeu. De plus, l?approche asymptotique permet de donner le cadre de validité des modèles qui sont simulés numériquement. C?est aussi un outil puissant pour traiter les problèmes raides. Plus généralement, la maîtrise de cet outil ouvre beaucoup de possibilités dans l?analyse des problèmes mécaniques.

Cet ouvrage est divisé en trois parties :

? La première partie est une introduction générale aux méthodes asymptotiques à travers des exemples et des situations très variés. En particulier, le problème des perturbations singulières, la méthode des développements
asymptotiques raccordés et la Méthode des Approximations Successives Complémentaires (MASC) y sont présentés.

? La deuxième partie est consacrée aux écoulements fluides faiblement visqueux. La méthode MASC introduite dans le chapitre 1 est utilisée pour construire les modèles asymptotiques et en particulier ceux des
couches limites interactives.

? La troisième partie est consacrée à l?homogénéisation en mécanique des solides, qui peut aussi s?appliquer en mécanique des fluides. Il existe différentes méthodes d?homogénéisation ; la technique présentée dans cette partie est celle de l?homogénéisation périodique qui utilise les développements asymptotiques.

L?objectif de cette collection d?ouvrages de mécanique théorique est de présenter, à un large public de chercheurs en mécanique ou en mathématique ainsi qu?à des étudiants intéressés par la recherche dans ces domaines, les fondements et les modèles de la mécanique ainsi que les outils théoriques développés pour les résoudre.




Table des matières

Chapitre 1
Analyse Asymptotique et perturbations singulières ? Introduction et fondements méthodologiques
1.1 Pourquoi l?analyse asymptotique ?
1.2 Initiation aux problèmes asymptotiques
1.2.1 L?oscillateur linéaire
1.2.2 Les problèmes réguliers
1.2.3 Les problèmes singuliers
1.2.4 La Méthode des Développements Asymptotiques Raccordés (MDAR)
1.2.5 La Méthode des Approximations Successives Complémentaire (MASC)
1.2.6 La Méthode des échelles multiples
1.2.7 La Méthode de Poincaré-Lighthill
1.2.8 La Méthode du groupe de renormalisation
1.2.9 Conclusion
1.3 Les développements asymptotiques
1.3.1 Les fonctions d?ordre
1.3.2 Les Développements Asymptotiques (DA)
1.3.3 Remarques sur la convergence et la précision
1.4 MDAR et MASC
1.4.1 L?opérateur d?expansion
1.4.2 Un exercice préliminaire
1.4.3 Approximation significative
1.4.4 Quelques exemples
1.4.5 Le principe du raccord asymptotique
1.4.6 La M

Chapitre 1 - Analyse Asymptotique et perturbations singulières – Introduction et fondements méthodologiques
1.1 Pourquoi l’analyse asymptotique ?
1.2 Initiation aux problèmes asymptotiques
1.3 Les développements asymptotiques
1.4 MDAR et MASC

Chapitre 2 - Couches limites en mécanique des fluides
2.1 Écoulements à grand nombre de Reynolds
2.2 Couche limite interactive
2.3 Applications des modèles de couche limite interactive
2.4 Formes régulières de la couche limite interactive
2.5 Conclusion

Chapitre 3 - Homogénéisation des matériaux à structure périodique
3.1 Introduction
3.3 Étude d’un problème de conduction thermique stationnaire
3.4 Description du milieu et du problème
3.5 Homogénéisation d’un composite élastique
3.6 Modélisation continue de milieux discrets répétitifs
3.7 Milieux quasi périodiques
3.8 Modèles non linéaires

Annexe
A.1 Notations
A.2 Formulations faibles et lemme de Hill
A.2.1 Formulations faibles et lemme de Hill pour les champs de vecteurs
A.2.2 Formulations faibles et lemme de Hill pour les champs de tenseurs