Geometrische Methoden in der Invariantentheorie, 1984 Coll. Aspects of Mathematics, Vol. 1

Einführung.- I. Einführende Beispiele.- 1. Euklidische Geometrie.- 2. Quadratische Formen.- 3. Konjugationsklassen von Matrizen.- 4. Invarianten mehrerer Vektoren.- 5. Nullformen.- 6. Assoziierte Kegel und Deformationen.- 7. Ternäre kubische Formen.- II. Gruppenoperationen, Invariantenringe und Quotienten.- 1. Algebraische Gruppen.- 1.1. Definitionen.- 1.2. Zusammenhangskomponente, Zentrum und homomorphe Bilder.- 1.3. Die klassischen Gruppen..- 1.4. Die Liealgebra einer algebraischen Gruppe.- 1.5. Die Liealgebren der klassischen Gruppen.- 2. Gruppenoperationen und lineare Darstellungen.- 2.1. Definitionen.- 2.2. Fixpunkte, Bahnen, Stabilisatoren.- 2.3. Lineare Darstellungen.- 2.4. Die reguläre Darstellung.- 2.5. Zusammenhang zwischen Gruppe und Liealgebra.- 2.6. Schichten.- 2.7. Die Varietät der Darstellungen einer Algebra.- 3. Quotienten bei linear reduktiven Gruppen.- 3.1. Linear reduktive Gruppen und isotypische Zerlegung.- 3.2. Der Endlichkeitssatz.- 3.3. Einfache Eigenschaften und Beispiele.- 3.4. Ein Kriterium für Quotienten.- 3.5. Zur Charakterisierung der linear reduktiven Gruppen.- 3.6. Der endliche Fall.- 4. Beispiele und Anwendungen.- 4.1. Das klassische Problem für GLn.- 4.2. Allgemeine Faser und Nullfaser.- 4.3. Einige Strukturaussagen für Quotienten.- III. Darstellungstheorie und die Methode der U-Invarianten.- 1. Darstellungstheorie linear reduktiver Gruppen.- 1.1. Tori und unipotente Gruppen.- 1.2. Auflösbare Gruppen und Borelgruppen.- 1.3. Darstellungen von Tori.- 1.4. Die irreduziblen Darstellungen von GL.- 1.5. Die irreduziblen Darstellungen einer linear reduktiven Gruppe.- 2. Das Hilbertkriterium.- 2.1. Einparameter-Untergruppen.- 2.2. Torusoperationen.- 2.3. Das Hilbertkriterium für GLn.- 2.4. Der allgemeine Fall.- 2.5. Assoziierte parabolische Untergruppen.- 2.6. Dimensionsabschätzungen für die Nullfaser.- 3. U-Invarianten und Normalitäts fragen.- 3.1. ?-Gradierung auf dem U-Invariantenring.- 3.2. Endliche Erzeugbarkeit der U-Invarianten.- 3.3. Ein Normalitätskriterium.- 3.4. Geometrische Interpretation der Multiplizitäten.- 3.5. Anwendung auf Abschlüsse von Bahnen.- 3.6. Multiplizitätenfreie Operationen.- 3.7. Normalität der Determinantenvarietäten.- 3.8. U-Invariantenringe von quasihomogenen Varietäten.- 3.9. Der Satz von Weitzenböck.- 4. SL-Einbettungen.- 4.1. Erste Eigenschaften.- 4.2. Ein Fortsetzungssatz.- 4.3. Bestimmung des ü-Invariantenringes.- 4.4. Existenzsätze.- 4.5. Struktursätze.- 4.6. Tangentialraum im Fixpunkt.- 4.7. Konstruktion von Einbettungen und Bestimmung der Höhe.- 4.8. Homomorphismen und Automorphismen.- 4.9. Verallgemeinerung auf endliche Stabilisatoren.- Anhang I. Einige Grundlagen aus der algebraischen Geometrie.- 1. Affine Varietäten.- 1.1. Reguläre Funktionen.- 1.2. Nullstellengebilde.- 1.3. Zariski-Topologie.- 1.4. Abgeschlossene Untervarietäten.- 1.5. Nullstellensatz.- 1.6. Affine Varietäten.- 1.7. Spezielle offene Mengen.- 1.8. Irreduzible Varietäten..- 1.9. Zerlegung in irreduzible Komponenten.- 1.10. Rationale Funktionen.- 1.11. Lokale Ringe.- 2. Reguläre Abbildungen.- 2.1. Definition.- 2.2. Hauptsatz.- 2.3. Dominante Morphismen.- 2.4. Lokale Bestimmtheit eines Morphismus.- 2.5. Abgeschlossene Bilder, Urbilder und Fasern.- 2.6. Beispiele.- 2.7. Produkte.- 2.8. Beispiele.- 3. Dimension.- 3.1. Definitionen.- 3.2. Beispiele.- 3.3. Dimensionsformel für Morphismen.- 3.4. Hauptidealsatz von Krull.- 3.5. Abbildungsgrad.- 3.6. Beispiele.- 3.7. Birationale Morphismen.- 4. Normale Varietäten.- 4.1. Endliche Morphismen.- 4.2. Noethersches Normalisierungslemma.- 4.3. Normale Varietäten und Normalisierung.- 4.4. Normalisierung von Gruppenoperationen.- 4.5. Going-down Theorem.- 5. Tangential räum und reguläre Punkte.- 5.1. Definition.- 5.2. Tangentialvektoren.- 5.3. Tangentialräume von Untervarietäten.- 5.4. Differential einer regulären Abbildung.- 5.5. Tangentialräume von Produkten und Fasern.- 5.6. Reguläre Punkte.- 5.7. Reguläre Abbildungen von maximalem Rang.- 6. Hyperflachen und Divisoren.- 6.1. Divisorengruppe.- 6.2. Normalitätskriterium von Serre.- 7. C-Topologie auf affinen Varietäten.- 7.1. Definition und Eigenschaften.- 7.2. (D-Abschlüsse.- Anhang II. Lineare Reduktivität der klassischen Gruppen.- 1. Topologische Gruppen, Liegruppen.- 2. Klassische Gruppen.- 3. Haarsches Mass auf kompakten Gruppen.- 4. Volle Reduzibilität der Darstellungen kompakter Gruppen.- 5. Lineare Reduktivität der klassischen Gruppen.- 6. Maximal kompakte Untergruppen.- 7. Cartan-und Iwasawazerlegung.- Symbole und Notationen.- Register.