Lectures on Euclidean Geometry - Volume 1, 1st ed. 2024 Euclidean Geometry of the Plane

This is a comprehensive two-volumes text on plane and space geometry, transformations and conics, using a synthetic approach. The first volume focuses on Euclidean Geometry of the plane, and the second volume on Circle measurement, Transformations, Space geometry, Conics.

The book is based on lecture notes from more than 30 courses which have been taught over the last 25 years. Using a synthetic approach, it discusses topics in Euclidean geometry ranging from the elementary (axioms and their first consequences), to the complex (the famous theorems of Pappus, Ptolemy, Euler, Steiner, Fermat, Morley, etc.). Through its coverage of a wealth of general and specialized subjects, it provides a comprehensive account of the theory, with chapters devoted to basic properties of simple planar and spatial shapes, transformations of the plane and space, and conic sections. As a result of repeated exposure of the material to students, it answers many frequently asked questions. Particular attention has been given to the didactic method; the text is accompanied by a plethora of figures (more than 2000) and exercises (more than 1400), most of them with solutions or expanded hints. Each chapter also includes numerous references to alternative approaches and specialized literature.

The book is mainly addressed to students in mathematics, physics, engineering, school teachers in these areas, as well as, amateurs and lovers of geometry. Offering a sound and self-sufficient basis for the study of any possible problem in Euclidean geometry, the book can be used to support lectures to the most advanced level, or for self-study. 

The basic notions

1

1.1

Undefined terms, axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Line and line segment

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Length, distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4

Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

Angle kinds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.6

Triangles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.7

The equality of shapes (congruence) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.8

Isosceles and right triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.9

Triangle congruence criteria

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.10 Relative measures of triangle angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.11 The triangle inequality

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.12 The orthogonal to a line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.13 The parallel from a point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.14 The sum of triangle angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.15 The axiom of parallels

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.16 Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

1.17 Ratios, harmonic tetrads

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

1.18 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2

Circle and polygons

57

2.1

The circle, the diameter, the chord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.2

Circle and line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.3

Two circles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.4

Constructions by ruler and compass

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.5

Parallelograms

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

2.6

Quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

2.7

The middles of sides

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

2.8

The triangle medians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

2.9

The rectangle and the square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

2.10 Other kinds of quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

2.11 Polygons, regular polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

2.12 Arcs, central angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

2.13 Inscribed angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

2.14 Inscriptible quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

2.15 Circumscribed quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

2.16 Geometric loci

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

2.17 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

3

Areas, Thales, Pappus, Pythagoras

135

3.1

Area of polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

3.2

The area of the rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

3.3

Area of parallelogram and triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

3.4

Pythagoras and Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

CONTENTS

xi

3.5

Similar right triangles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

3.6

The trigonometric functions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159

3.7

The theorem of Thales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

3.8

Pencils of lines

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170

3.9

Similar triangles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

178

3.10 Similar polygons

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185

3.11 Triangle’s sine and cosine rules

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

3.12 Stewart, medians, bisectors, altitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200

3.13 Antiparallels, symmedians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207

3.14 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

212

4

The power of the circle

233

4.1

Power with respect to circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

233

4.2

Golden section and regular pentagon

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

237

4.3

Radical axis, radical center . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

241

4.4

Apollonian circles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

245

4.5

Circle pencils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

250

4.6

Orthogonal circles and pencils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259

4.7

Similarity centers of two circles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

265

4.8

Inversion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

271

4.9

Polar and pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281

4.10 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

286

5

From the classical theorems

311

5.1

Escribed and excenters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311

5.2

Heron’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

316

5.3

Euler’s circle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

318

5.4

Feuerbach’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

322

5.5

Euler’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

324

5.6

Tangent circles of Apollonius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

328

5.7

Theorems of Ptolemy and Brahmagupta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

333

5.8

Simson’s and Steiner’s lines

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

340

5.9

Miquel point, pedal triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

344

5.10 Arbelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

351

5.11 Sangaku

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

356

5.12 Fermat’s and Fagnano’s theorems

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

360

5.13 Morley’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

364

5.14 Signed ratio and distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

366

5.15 Cross ratio, harmonic pencils

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

372

5.16 Theorems of Menelaus and Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

379

5.17 The complete quadrilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

387

5.18 Theorem of Desargues

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

393

5.19 Theorem of Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

397

5.20 Theorems of Pascal and Brianchon

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

400

5.21 Castillon’s problem, homographic relations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

407

5.22 Malfatti’s problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

414

5.23 Calabi’s triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

417

5.24 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

420

6

Circle measurement

441

6.1

The difficulties, the limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

441

6.2

Definition of the perimeter of the circle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

445

6.3

The number π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

447

6.4

Arc length of a circle, radians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

449

6.5

Definition of the area of the circle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

451

xii

CONTENTS

6.6

The area of a circular sector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

455

6.7

The isoperimetric inequality

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

459

6.8

Anthyphairesis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

463

6.9

Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

466

7

Transformations of the plane

473

7.1

Transformations, isometries

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

473

7.2

Reflections or mirrorings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

475

7.3

Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

479

7.4

Rotations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

484

7.5

Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

489

7.6

Homotheties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

492

7.7

Similarities

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

495

7.8

Inversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

504

7.9

The hyperbolic plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

506

7.10 Archimedean tilings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

516

7.11 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

523

8

Lines and planes in space

531

8.1

Axioms for space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

531

8.2

Parallel planes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

536

8.3

Angles in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

538

8.4

Skew lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

540

8.5

Line orthogonal to plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

542

8.6

Angle between line and plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

548

8.7

Theorem of Thales in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

550

8.8

Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

553

9

Solids

557

9.1

Dihedral angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

557

9.2

Trihedral angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

561

9.3

Pyramids, polyhedral angles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

569

9.4

Tetrahedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

571

9.5

Regular pyramids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

574

9.6

Polyhedra, Platonic solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

577

9.7

Prisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

581

9.8

Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

585

9.9

Cone, conical surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

586

9.10 Truncated cone, cone unfolding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

591

9.11 Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

593

9.12 Spherical and circumscribed polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

600

9.13 Spherical lune, angle of great circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

602

9.14 Spherical triangles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

603

9.15 The supplementary triheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

607

9.16 Axonometric projection, affinities

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

611

9.17 Perspective projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

616

9.18 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

619

10 Areas in space, volumes

631

10.1 Areas in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

631

10.2 Area of the sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

637

10.3 Area of spherical polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

640

10.4 Euler Characteristic

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

643

10.5 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

645

10.6 Volume of prisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

647

CONTENTS

xiii

10.7 Volume of pyramids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

651

10.8 Volume of cylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

656

10.9 Volume of cones

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

658

10.10Volume of spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

659

10.11Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

666

11 Conic sections

673

11.1 Conic sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

673

11.2 Dandelin’s spheres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

676

11.3 Directrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

679

11.4 General characteristics of conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

686

11.5 The parabola

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

693

11.6 The ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

700

11.7 The hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

709

11.8 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

718

12 Transformations in space

733

12.1 Isometries in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

733

12.2 Reflections in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

735

12.3 Translations in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

738

12.4 Rotations in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

739

12.5 Congruence in space

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

742

12.6 Homotheties in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

748

12.7 Similarities in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

749

12.8 Archimedean solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

751

12.9 Epilogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

757

Bibliography

759

Index

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Paris Pamfilos was born in Athens, Greece, and studied in Athens, Bonn and Cologne. His Ph.D. (in Differential Geometry) was obtained in Cologne under the supervision of Prof. Peter Dombrowski. He has held various assistant, researcher and visiting-professor positions at the Universities of Bonn, Essen, and Nicosia, and was an associate professor in the Department of Mathematics, University of Crete. He enjoys teaching, programming, and (in the infrequent remaining free time) doing his philosophical parerga. He speaks Greek, German, French, English, Italian and Russian. His main interest is in Geometry, especially Euclidean Geometry, a subject that he has lectured on for more than 25 years, and on which he continues to publish original articles.

Elementary synthetic exposition of plane Euclidean geometry

Didactic method enhanced with many figures and solved exercises

Abundant references to alternative viewpoints and further reading