Cours d'algèbre Groupes, anneaux, modules & corps
Auteurs : ASSEM Ibrahim, LEDUC Pierre Yves
L'ouvrage couvre la totalité de la matière ordinairement enseignée dans les cours d'algèbre de premier cycle universitaire, sauf pour l'algèbre linéaire élémentaire. N'exigeant du lecteur que peu de connaissances préalables, il présente une matière vivante et organisée pour que celui-ci, qu'il soit étudiant ou autodidacte, acquière des compétences solides en algèbre et ce, de manière agréable et efficace. Les sujets choisis - groupes, anneaux, modules et corps - permettent d'atteindre les objectifs visés tout en mettant en valeur la beauté intrinsèque de l'algèbre. La théorie est enrichie de nombreux exemples et de plus de 1300 exercices de tous niveaux de difficulté. S'y ajoutent des vignettes historiques présentant plusieurs des personnalités marquantes de l'algèbre.
Chapitre 1 Préliminaires
Formalisme. Ensembles. Sous-ensembles. Intersections, unions, différences. Familles d'ensembles. Produits cartésiens.
Chapitre 2 Applications et équivalences
Concept d'application. Propriétés des applications. Relations d'équivalence.
Chapitre 3 Récurrence
Premier principe de récurrence. Définitions récursives. Binôme de Newton. Second principe de récurrence.
Chapitre 4 Arithmétique
Théorèmes fondamentaux. Autres faits remarquables. Congruences.
Chapitre 5 Nombres complexes
Corps des nombres complexes. Plan complexe. Racines nièmes.
Chapitre 6 Concept de groupe
Opérations, monoïdes, groupes. Groupe des entiers modulo m. Groupe des isométries du triangle. Groupe de Klein. Groupe des entiers non nuls modulo p. Cercle unité. Produits cartésiens de deux groupes. Groupe des racines nièmes de l'unité. Groupes linéaires. Propriétés élémentaires des groupes. Groupes symétriques. Isomorphismes de groupes.
Chapitre 7 Sous-groupes et groupes monogènes
Sous-groupes. Groupes monogènes, groupes cycliques. Générateurs d'un groupe cyclique. Théorème de Lagrange.
Chapitre 8 Homomorphismes et groupes quotients
Homomorphismes. Théorème de Cayley. Sous-groupes normaux. Groupes alternés. Groupes quotients.
Chapitre 9 Théorèmes d'isomorphisme
Isomorphisme de base. Sous-groupes et quotients de G/N.
Chapitre 10 Anneaux
Définition et propriétés élémentaires. Sous-anneaux. Anneaux intègres et corps. Caractéristique.
Chapitre 11 Idéaux et anneaux quotients
Idéaux. Construction d'idéaux. Anneaux quotients.
Chapitre 12 Homomorphismes et isomorphismes d'anneaux
Homomorphismes d'anneaux. Isomorphismes d'anneaux. Théorèmes d'isomorphisme. Idéaux maximaux et premiers. Corps des fractions d'un anneau intègre.
Chapitre 13 Polynômes
Polynômes sur un anneau commutatif. Homomorphismes d'anneaux de polynômes. Division polynomiale sur un anneau intègre. Factorisation des polynômes sur un corps. Polynômes sur Q, R et C. Polynômes en deux indéterminées. Polynômes en n indéterminées. Polynômes symétriques. Généralisation.
Chapitre 14 Anneaux principaux
Divisibilité dans un anneau intègre. Anneaux euclidiens. Anneaux principaux. Factorisation unique. Applications arithmétiques.
Chapitre 15 Modules et sous-modules
Modules. Sous-modules. Construction de sous-modules. Modules de torsion.
Chapitre 16 Applications linéaires
Applications linéaires. Théorèmes d'isomorphisme. Suites exactes. Sommes et produits directs. Modules libres. Modules libres de type fini sur un anneau principal.
Chapitre 17 Modules de type fini sur un anneau principal
Forme normale de Smith d'une matrice. Théorème fondamental. Décomposition primaire d'un module. Applications.
Chapitre 18 Formes canoniques de matrices
Espaces vectoriels munis d'une application linéaire. Forme canonique d'un endomorphisme cyclique. Formes canoniques d'un endomorphisme quelconque. Calcul des formes canoniques et des bases correspondantes.
Chapitre 19 Groupes simples et groupes résolubles
Groupes simples. Groupes résolubles. Sous-groupes remarquables. Suites de composition.
Chapitre 20 Corps
Extensions. Corps de rupture. C : corps algébriquement clos. Existence de clôtures algébriques. Corps finis. Classification. Structure du groupe multiplicatif.
Chapitre 21 Théorie de Galois
Équation générale de degré 3. Extensions galoisiennes. Correspondance galoisienne. Invariants d'un groupe d'automorphismes. Construction de K-automorphismes. Théorème fondamental. Résolubilité par radicaux. Équations non résolubles par radicaux
Le livre Cours d'algèbre - Groupes, anneaux, modules et corps constitue un outil précieux pour tout étudiant francophone en mathématiques en raison de l'étendue de la matière qu'il couvre, de la quantité et du niveau des exercices qu'il propose, et enfin, du fait que toutes les démonstrations y sont présentées en détail.
• Pierre Yves Leduc est algébriste et professeur au même département depuis 1969. Il a exercé la fonction de doyen de la Faculté des sciences de 1989 à 1997. Ses domaines de prédilection sont, bien sûr, l'algèbre, l'algèbre appliquée, la théorie des nombres, la géométrie algébrique et la topologie algébrique, mais aussi l'analyse.
Date de parution : 03-2009
Ouvrage de 694 p.
17x24.5 cm
