BDM Applications différentiables, fonctions de plusieurs variables

Ce fascicule traite des fonctions différentiables définies sur un espace vectoriel normé. Il s'adresse aux étudiants de L1, L2, L3 des filières scientifiques, aux étudiants de Licence de Mathématiques notamment, ainsi qu'aux étudiants des Classes Préparatoires aux Grandes Écoles. Il propose à la fois des rappels de cours et des exercices corrigés de façon particulièrement détaillée, classés par ordre de difficulté croissante. Le lecteur peut ainsi progresser à son rythme et de façon autonome dans cette discipline.
On aborde en particulier les notions de différentielle, différentielle d'ordre supérieur, différentielle partielle. Dans le cadre euclidien, ces notions conduisent à définir le gradient, la divergence et le rotationnel. On aborde également le théorème de la fonction réciproque, ainsi que les problèmes de recherche d'extrema locaux.
Les exercices proposés permettent au lecteur de maîtriser un large spectre d'exemples. Une fois ces notions assimilées, il pourra sans difficultés s'engager dans des études plus avancées.

Avant-Propos

1 Applications différentiables
1.1 Rappels de cours
1.1.1 Application négligeable devant une autre
1.1.2 Notion d'application différentiable
1.1.3 Dérivée suivant un vecteur
1.1.4 L'inégalité des accroissements finis
1.1.5 Différentielles partielles
1.1.6 Notion d'application de classe C1
1.1.7 Cas des applications de Rn vers Rp, matrice jacobienne
1.1.8 Le théorème de la fonction réciproque
1.1.9 Le cas euclidien : gradient, divergence, rotationnel
1.2 Exercices

2 Applications k fois différentiables
2.1 Rappels de cours
2.1.1 Notion d'application k fois différentiable
2.1.2 Notion d'application de classe Ck
2.1.3 Symétrie des différentielles d'ordre k
2.1.4 Différentielles partielles d'ordre k
2.1.5 Le théorème de SCHWARZ
2.1.6 L'inégalité de TAYLOR-LAGRANGE
2.1.7 La formule de TAYLOR-YOUNG
2.1.8 Application à la recherche des extrema d'une fonction numérique
2.2 Exercices

L1, L2, L3, Classes préparatoires, Capes, Grandes écoles