Mécanique des milieux continus généralisés

Gianpietro Del Piero, Samuel Forest, Pierre Seppecher

Cet ouvrage traite des milieux continus généralisés. Il s?adresse à un large public de chercheurs en mécanique ou en mathématiques ainsi qu?à des étudiants intéressés par les fondements des modèles utilisés en mécanique. Les méthodes générales pour construire de manière systématique et cohérente des théories de ces milieux sont présentées en détail ainsi que diverses applications. En effet, ces théories se révèlent pertinentes pour décrire un grand nombre de circonstances fréquemment rencontrées en pratique : milieux finement hétérogènes, polycristaux, milieux microfissurés, mais aussi théorie de poutres, des plaques et des coques. Trois points de vue, de portée générale, sont plus particulièrement approfondis :

? La construction des théories de milieux continus généralisés rend indispensable la rationalisation et la systématisation de l?application des grands principes de la physique. Le point de vue des puissances virtuelles assure la cohérence de la représentation des efforts avec les divers raffinements de la description cinématique que l?on peut envisager. Pour la représentation des efforts intérieurs, ce point de vue sera mis en rapport avec l?extension des hypothèses sur lesquelles le théorème de Cauchy est basé.

? L?étude des milieux micromorphes dont les milieux de Cosserat constituent un cas particulier important. Les théories de poutres et de plaques en constituent une illustration classique. Le comportement élastoplastique de ces milieux continus généralisés est discuté en vue d?application à la description des polycristaux.

? Les théories dites de gradient d?ordre supérieur (par exemple, celle du second gradient). Il s?agit d?un autre type de généralisation de la mécanique des milieux continus classiques qui s?est révélé fécond autant pour la mécanique des solides que la mécanique des fluides. En particulier, des illustrations basées sur l?homogénéisation des treillis périodiques sont présentées.

Le livre regroupe les contributions de trois chercheurs qui travaillent sur les fondements des milieux continus généralisés depuis de nombreuses années. Ils ont des points de vues différents mais complémentaires sur le sujet. L?ouvrage a été décomposé en trois parties, chacune correspond à la contribution de chacun des trois auteurs. Elles peuvent êtres lues dans un premier temps d?une manière indépendante. Les lecteurs qui souhaitent comprendre les fondements de la mécanique aussi bien que ceux qui sont intéressés par la modélisation des matériaux trouveront un grand plaisir dans la lecture de chacun e des trois parties.

Introduction
I Une approche rationnelle des milieux continus avec microstructure
II Milieux de second gradient. Théorie, interprétation, exemples
III Thermomécanique des milieux continus micromorphes

I - Une approche rationnelle des milieux continus avec microstructure

1. La mécanique classique
1.1 - Géométrie
1.2 - Géométrie de la microstructure
1.3 - Actions extérieures
1.4 - Lois de comportement
1.5 - Le problème d’équilibre incrémental
2. La mécanique classique revisitée
2.1 - Régions appropriées et mesures
2.2 - Interactions
2.3 - Reformulation de la mécanique classique
3. Les milieux continus généralisés
3.1 - Propriétés générales
3.2 - Milieux micromorphes
3.3 - Les milieux du second gradient
3.4 - Modèles généralisés de la plasticité
4. Les milieux polaires
4.1 - Milieux polaires micromorphes
4.2 - Milieux des Cosserat
4.3 - Milieux polaires à liaisons internes
4.4 - Théories des plaques et des poutres
Bibliographie de la première partie

II - Milieux de second gradient. Théorie, interprétation,exemples

5. Milieux de second gradient
5.1 - Introduction
5.2 - Actions mécaniques extérieures
.5.2.1 Vision habituelle
.5.2.2 Le jeu des distributions
.5.2.3 Actions légitimes pour les théories mécaniques habituelles
.5.2.4 Pourquoi la nécessité d’étendre les hypothèses standards ne se fait pas sentir plus souvent
5.3 - Les réseaux élastiques comme modèles de matériaux
.5.3.1 Un matériau élastique classique
.5.3.2 Un matériau résistant à la flexion
.5.3.3 Un matériau résistant au gradient d’élongation
.5.3.4 Matériaux d’ordre supérieur
5.4 - Théorème de représentation
.5.4.1 Rappel de la théorie classique du tenseur de Cauchy
.5.4.2 Théorème de Noll
.5.4.3 Insuffisances, notion de forme
.5.4.4 Domaines considérés
.5.4.5 Hypothèses pour les actions extérieures
.5.4.6 Postulat de quasi-équilibre
.5.4.7 Théorème de Noll généralisé
.5.4.8 Théorème de représentation, hyper-contraintes
.5.4.9 Représentation des interactions d’ordre inférieur
5.5 - Théorie du second gradient
5.6 - Conclusions
5.7 - Annexe : la Gamma-convergence : le bon outil pour les problèmes variationnels asymptotiques .5.7.1 Premier exemple .5.7.2 Définition
.5.7.3 Deuxième exemple
.5.7.4 Application
Bibliographie de la deuxième partie

III - Thermomécanique des milieux continus micromorphes

6 - Mécanique non linéaire des milieux micromorphes
6.1 - Introduction
6.2 - Milieux micromorphes en transformations finies
.6.2.1 Cinématique
.6.2.2 Construction par la méthode des puissances virtuelles
.6.2.3 Mesures de déformation
.6.2.4 Une hiérarchie de milieux continus généralisés
.6.2.5 Liaisons internes
.6.2.6 Les milieux micromorphes d’ordre supérieur de Germain
6.3 - Thermodynamique des milieux continus micromorphes
.6.3.1 Conservation de l’énergie
.6.3.2 Second principe
6.4 - Lois de comportement des milieux micromorphes
.6.4.1 Thermoélasticité micromorphe
.6.4.2 Linéarisation de la loi d’élasticité
.6.4.3 Cinématique élastoplastique
.6.4.4 Comportement élastoviscoplastique
6.5 - Elastoplasticité du second gradient
6.6 - Approche micromorphe de la plasticité et de la rupture
.6.6.1 Variables d’état, degrés de liberté internes, variables internes
.6.6.2 Mise en oeuvre de l’approche micromorphe
.6.6.3 Microplasticité
.6.6.4 Effet d’échelle en microplasticité
.6.6.5 Phénomènes de localisation
.6.6.6 Lien avec les champs de phase
6.7 - Conclusions
Bibliographie de la troisième partie