Vorlesungen über numerische Mathematik, 1984 I. Lineare Algebra

Dieses Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die in den letzten 15 Jahren an der Rostocker Universitiit fiir Mathematikstudenten, fiir Lehrerstudenten der Fach­ kombination Mathematik/Physik und gelegentlich auch fiir Rorer technischer Studien­ richtungen gehalten wurden. Die "Vorlesungen", das heiSt die durch zwei Ziffern gekennzeichneten Abschnitte, sind in der Regel induktiv aufgebaut., Einfiihrende Beispiele sollen zeigen, welche Probleme aus der Praxis zu der mathematischen Auf­ gabenstellung gefiihrt; haben, und motivieren, wie eine Losung gefunden werden kann und welche Schwierigkeiten dabei auftreten. AnschlieBend folgen theoretische Unter­ suchungen zur Analyse des Fehlers der erhaltenen Niiherungslosung, zur Konvergenz des Verfahrens und zu den benotigten Voraussetzungen. Das Buch richtet sich in erster Linie an Studenten, deren Studienplan die numeri­ sche Mathematik enthiilt, es ist aber auch fiir Studenten der Technik- und Natur­ wissenschaften und der Okonomie und fiir Praktiker gedacht, die sich, bedingt durch den stark zunehmenden Einsatz von Rechenanlagen, mit numerischen Fragen im Selbststudium beschiiftigen wollen. Dariiber hinaus werden auch Vertreter anderer mathematischer Disziplinen beim BHtttern feststellen, daB die numerische Mathe­ matik fiir sie interessante, bisher noch nicht zufriedenstellend 'geloste Aufgaben­ stellungen enthiilt, z. B. Probleme der zweckmiiBigen Beschreibung von Matrix­ strukturen, der Bandbreitenreduzierung und Kompaktspeicherung fiir die diskrete Mathematik und die Bestimmung realistischer Fehlerschranken fiir Niiherungslosun­ gen komplizierter Probleme fiir die Analysis. Einige grundlegende Abschnitte sind bewuBt sehr elementar gehalten. Es werden ledigIich Grundkenntnisse aus der linearen Algebra und' der Analysis vorausgesetzt.

1. Grundlagen des numerischen Rechnens.- 1.1. Aufgaben der numerischen Mathematik.- 1.1.1. Bemerkung.- 1.1.2. Übungsaufgaben.- 1.2. Fehleranalyse.- 1.2.1. Funktionen einer Veränderlichen.- 1.2.2. Funktionen mehrerer Veränderlicher.- 1.2.3. Durch Algorithmen erzeugte Fehler.- 1.2.4. Bemerkungen.- 1.2.5. Übungsaufgaben.- 1.3. Maschinenzahlen, Rundungsfehler.- 1.3.1. Bemerkungen.- 1.3.2. Übungsaufgaben.- 1.4. Intervallrechnung.- 1.4.1. Bemerkungen.- 1.4.2. Übungsaufgaben.- 2. Lineare Gleichungssysteme.- 2.1. Problemstellung, Grundlagen.- 2.1.1. Eigenschaften der Koeffizientenmatrix.- 2.1.2. Sätze über Matrizen.- 2.1.3. Vektor- und Matrixnormen.- 2.1.4. Elementare Matrizen.- 2.1.5. Bemerkungen.- 2.1.6. Übungsaufgaben.- 2.2. Der Gauß-Algorithmus.- 2.2.1. Systeme mit mehreren rechten Seiten.- 2.2.2. Bemerkungen.- 2.2.3. Übungsaufgaben.- 2.3. Dreieckszerlegung von Matrizen.- 2.3.1. XU-Zerlegung.- 2.3.2. Bandmatrizen.- 2.3.3. Bemerkungen.- 2.3.4. Übungsaufgaben.- 2.4. Symmetrische Dreieckszerlegung...- 2.4.1. UXLT-Aufspaltung.- 2.4.2. Positiv definite Matrizen, Cholesky-Verfahren..- 2.4.3. Bandmatrizen.- 2.4.4. Bemerkungen.- 2.4.5. Übungsaufgaben.- 2.5. Schwach besetzte Matrizen:.- 2.5.1. Bandbreitenreduzierung symmetrischer Matrizen.- 2.5.2. Kompaktspeichertechniken.- 2.5.3. Anpassimg des Gauß-Algorithmus.- 2.5.4. Bemerkungen.- 2.5.5. Übungsaufgaben.- 2.6. Fehleranalyse.- 2.6.1. Rüekwärtsanalyse.- 2.6.2. Vorwärtsanalyse.- 2.6.3. Abschätzung der Konditionszahlen.- 2.6.4. Erzeugter Fehler des Gauß-Algorithmus.- 2.6.5. Bemerkungen.- 2.6.6. Übungsaufgaben.- 2.7. Iterationsverfahren HO.- 2.7.1. Elementare Iterationsverfahren.- 2.7.2. Konsistenz und Konvergenz.- 2.7.3. Konvergenzkriterien.- 2.7.4. Bemerkungen.- 2.7.5. Übungsaufgaben.- 2.8. Projektions verfahren.- 2.8.1. Allgemeine Herleitung.- 2.8.2. Skalarprodukte.- 2.8.3. Überblick über Projektions verfahren.- 2.8.4. Verfahren der konjugierten Gradienten.- 2.8.5. Vorkonditionierte Gradienten verfahren.- 2.8.6. Bemerkungen.- 2.8.7. Übungsaufgaben.- 3. Überbestimmte lineare Gleichungssysteme.- 3.1. Methode der kleinsten Quadrate.- 3.1.1. Problemstellung.- 3.1.2. Lineare Ausgleichsrechnung.- 3.1.3. Lösung der Normalgleichungen.- 3.1.4. Bemerkungen 1.- 3.1.5. Übungsaufgaben.- 3.2. Orthogonalisierungsverfahren.- 3.2.1. Spiegelungen.- 3.2.2. QR-Zerlegung durch Spiegelungen.- 3.2.3. Ebene Drehungen.- 3.2.4. QR-Zerlegung durch Drehungen.- 3.2.5. Bemerkungen.- 3.2.6. Übungsaufgaben.- 3.3. Lineare Abbildungen und (verallgemeinerte) Umkehrabbildungen.- 3.3.1. Definition der Pseudoinversen.- 3.3.2. Singulärwerte und Singulärvektoren „.- 3.3.3. Eigenschaften der Pseudoinversen.- 3.3.4. Bemerkung.- 3.3.5. Übungsaufgaben.- 3.4. Lösungen und Pseudolösungen linearer Gleichungssysteme.- 3.4.1. Lösungsdarstellungen.- 3.4.2. Fehleranalyse.- 3.4.3. Berechnung von A+b durch Spiegelungen.- 3.4.4. Bemerkungen.- 3.4.5. Übungsaufgaben.- 4. Matrizeneigenwertprobleme.- 4.1. Problemstellung, Grundlagen.- 4.1.1. Direkte Methode.- 4.1.2. Algebraisehe Grundlagen.- 4.1.3. A-priori-Absehätzungen, Kondition des Eigenwertproblems.- 4.1.4. Bemerkungen.- 4.1.5. Übungsaufgaben.- 4.2. Vektoriteration.- 4.2.1. Potenzmethode.- 4.2.2. Inverse Iteration.- 4.2.3. Rayleigh-Quotienten-Iteration.- 4.2.4. Deflation.- 4.2.5. Bemerkungen.- 4.2.6. Übungsaufgaben.- 4.3. Ähnliehkeitstransformationen.- 4.3.1. Ebene Drehungen.- 4.3.2. Jaeobi-Drehungen.- 4.3.3. Givens -Drehungen.- 4.3.4. Bfouseholder-Spiegelungen.- 4.3.5. Bemerkungen.- 4.3.6. Übungsaufgaben.- 4.4. QR-Algorithmus.- 4.4.1. Grundform.- 4.4.2. Spektralversehiebungen.- 4.4.3. Numerische Realisierung.- 4.4.4. Bemerkungen.- 4.4.5. Übungsaufgaben.- Literatur.