Invitation a la topologie algébrique Tome 2 Cohomologie Tome 2 : cohomologie - variétés

4eme de couv

Ce Tome II introduit la cohomologie, qui est une théorie duale de l'homologie, et examine les liens avec cette dernière ainsi que les divers produits construits sur les modules d'homologie et de cohomologie. Nous étudions en détail les variétés topologiques avec ou sans bord, définissons sur celles-ci au moyen de l'homologie une notion d'orientation et la comparons avec les définitions classiques d'orientation pour les variétés différentiables ou triangulables. Nous exposons les théorèmes de dualité de Poincaré, Alexander et Lefschetz et en déduisons les propriétés des formes d'intersection et de la signature des variétés.
Le dernier chapitre du livre présente les résultats fondamentaux concernant la différentiabilité et la triangulabilité des variétés, obtenus depuis les années soixante du siècle dernier, tant en grandes dimensions qu'en dimension quatre. Nous discutons également la conjecture de Poincaré classique et ses généralisations. Bien que des démonstrations complètes de ces résultats soient hors de portée d'un ouvrage tel que le nôtre, nous nous sommes attachés à rendre leurs énoncés compréhensibles. Cette vue d'ensemble, et les références à la littérature qui l'accompagnent, fournissent une introduction aux développements récents dans ce riche domaine de la topologie.

Introduction Tome II

Deuxième partie : Cohomologie

15 -Définitions et exemples de cohomologies
15.1 Complexes de cochaînes algébriques
15.2 Coefficients universels en cohomologie
15.3 Cohomologies singulière et simpliciale
15.4 Deux théorèmes de Hopf
15.5 Exercices

16 - Produits en cohomologie
16.1 Produit cross en cohomologie
16.2 Produit cup
16.3 Produit cap
16.4 Produit slant
16.5 Exercices

Supplément à la deuxième partie

Troisième partie : Variétés

17 - Structures sur les variétés
17.1 Variétés topologiques
17.2 Variétés différentiables
17.3 Variétés triangulables
17.4 Exercices

18 - Orientation et homologie des variétés
18.1 Orientation des variétés topologiques
18.2 Orientation des variétés différentiables
18.3 Orientation des variétés triangulables
18.4 Exercices

19 - Dualités de Poincaré, d'Alexander et de Lefschetz
19.1 Classe d’orientation
19.2 Dualité de Poincaré
19.3 Applications de la dualité de Poincaré
19.4 Dualité d’Alexander
19.5 Applications bilinéaires d’intersection
19.6 Dualité de Lefschetz
19.7 Exercices

20 - Prolongements
20.1 Variétés PL
20.2 Sommes connexes orientées
20.3 Variétés de dimensions 1 et 2
20.4 Variétés de dimension 3
20.5 Variétés de dimension 4
20.6 La Conjecture de Poincaré
20.7 Variétés de grandes dimensions
20.8 Triangulations non combinatoires des variétés
20.9 Structures PL et DIFF sur les espaces euclidiens
20.10 Plongements de variétés
20.11 Groupes et anneaux de bordismes

Supplément à la troisième partie

Annexe A : Limites algébriques directes
Annexe B : Formes bilinéaires

Bibliographie du Tome II
Index des Tomes I et II