Algèbre Linéaire 6e édition (6° Éd.)
Auteur : Grifone Joseph
L?algèbre linéaire a sans doute une place spéciale parmi les disciplines enseignées en premier cycle.
- D?une part parce qu?elle est utilisée pratiquement dans toutes les branches scientifiques : la physique, l?économie, la chimie, l?informatique? Sa connaissance fait partie du bagage indispensable au futur chercheur, ingénieur ou agrégatif.
- D?autre part en vertu de son caractère pédagogique, car l?algèbre et la géométrie se mêlent constamment et l?imagination est sans cesse sollicitée.
L?auteur s?est efforcé de rédiger un ouvrage qui, sans sacrifier à la rigueur, présente les différents sujets avec clarté et simplicité.
Dans cette nouvelle édition, ont été ajoutées quelques références bibliographiques, ainsi qu?un Appendice consacré aux espaces symplectiques, à cause de l?importance que ceux-ci ont acquise en diverses branches des Mathématiques et de la Physique Théorique.
Avant-Propos
1. Espaces Vectoriels
2. La méthode du pivot (ou méthode d?élimination de Gauss)
3. Applications linéaires et matrices
4. Déterminants
5. Systèmes d?équations linéaires
6. Réduction des endomorphismes
7. Espaces euclidiens
8. Espaces hermitiens
9. Formes bilinéaires et formes quadratiques
10. Formes hermitiennes
Quelques références bibliographiques
Index
Avant-Propos
1. Espaces Vectoriels
1.1 Introduction
1.2 Espaces vectoriels
1.3
Sous-espaces vectoriels
1.4 Bases (en dimension finie)
1.5
Existence de bases (en dimension finie)
1.6 Les théorèmes
fondamentaux sur la dimension
1.7 Bases en dimension infinie
1.8
Somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires
1.9 Somme et
somme directe de plusieurs sous-espaces
Exercices
2. La méthode du pivot (ou méthode d’élimination de Gauss)
2.1
Etude d’un système d'équations linéaires par la méthode du pivot
2.2
Cas des systèmes linéaires homogènes
2.3 Application
aux familles libres et aux familles génératrices
2.4
Utilisation pratique de la méthode du pivot Exercices
3. Applications linéaires et matrices
3.1 Applications linéaires
3.2
Image et noyau. Image d’une famille de vecteurs
3.3 Matrices et
applications linéaires
3.4 Produit de deux matrices
3.5
Matrice d’un vecteur. Calcul de l’image d’un vecteur
3.6
Produits de matrices. Matrice de l’inverse d’une application
3.7
Changement de base
3.8 Rang d’une application linéaire et rang d’une
matrice
3.9 Espace dual
3.10 Annulateur d’un sous-espace
Exercices
4. Déterminants
4.1 Définition des déterminants par récurrence
4.2
Les déterminants vus comme formes multilinéaires alternées
4.3
Permutations, transpositions, signature
4.4 Une formule explicite
pour le déterminant
4.5 Déterminant de la transposée d’une
matrice
4.6 Calcul des déterminants
4.7 Déterminant du
produit de matrices. Déterminant d’un endomorphisme
4.8
Calcul de l’inverse d’une matrice
4.9 Application des
déterminants à la théorie du rang
4.10 Interprétation
géométrique du déterminant : volume dans Rn
4.11
Orientation
Exercices
5. Systèmes d’équations linéaires
5.1
Définitions et interprétations
5.2 Systèmes de Cramer
5.3
Cas général. Le théorème de Rouché-Fontené
5.4
Cas des systèmes homogènes
Exercices
6. Réduction des endomorphismes
6.1 Position du problème
6.2
Vecteurs propres
6.3 Recherche des valeurs propres. Polynôme
caractéristique
6.4 Digression sur les polynômes
6.5
Recherche des vecteurs propres
6.6 Caractérisation des endomorphismes
diagonalisables
6.7 Trois applications
6.8 Trigonalisation
6.9
Polynômes annulateurs. Théorème de Cayley-Hamilton
6.10
Le Lemme des noyaux
6.11 Recherche des polynômes annulateurs.
Polynôme minimal
6.12 Réduction en blocs triangulaires (ou
réduction selon les espaces caractéristiques)
6.13
Décomposition de Dunford
6.14 La réduction de Jordan
Exercices
7. Espaces euclidiens
7.1 Produit scalaire canonique dans R2 et R3
7.2
Produit scalaire sur un espace vectoriel. Espaces euclidiens
7.3
Méthode de Gauss pour la réduction en carrés
7.4 Le
théorème fondamental des espaces euclidiens. Procédé
d’orthonormalisation de Schmidt
7.5 Norme d’un vecteur. Angle
non orienté
7.6 Représentation matricielle du produit scalaire
7.7
Sous-espaces orthogonaux
7.8 Endomorphisme adjoint
7.9 Groupe
orthogonal
7.10 étude de O(2,R) et O(3, R)
7.11 Rotations et
angle dans un espace euclidien de dimension 2 ou 3
7.12 Produit
vectoriel
7.13 Diagonalisation des endomorphismes autoadjoints d’un
espace euclidien
Exercices
8. Espaces hermitiens
8.1 Formes hermitiennes. Produit scalaire
hermitien
8.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz. Norme
8.3
Matrices hermitiennes
8.4 Bases orthonormées. Orthogonalité
8.5
Endomorphisme adjoint
8.6 Groupe unitaire
8.7 Diagonalisation des
endomorphismes autoadjoints d’un espace hermitien. Endomorphismes normaux
Exercices
9. Formes bilinéaires et formes quadratiques
9.1 Rang et noyau
d’une forme bilinéaire
9.2 Formes bilinéaires symétriques
et formes quadratiques en dimension finie
9.3 Définition de forme
quadratique en dimension infinie
9.4 Rang, Noyau et vecteurs
isotropes d’une forme quadratique
9.5 Bases orthogonales.
Réduction des formes quadratiques
9.6 Recherche d’une base
orthogonale par la méthode de Gauss
9.7 Classification des
formes quadratiques sur un espace vectoriel complexe
9.8
Classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel.
Théorème de Sylvester
9.9 Sous-espaces orthogonaux
9.10
Formes quadratiques dans un espace euclidien
9.11 Endomorphisme
adjoint
9.12 Groupe orthogonal associé à une forme quadratique
Exercices
10. Formes hermitiennes
10.1 Rang et noyau d’une forme hermitienne
10.2
Orthogonalité. Vecteurs isotropes
10.3 Bases orthogonales et
classification des formes hermitiennes
10.4 Groupe unitaire associé à
une forme hermitienne
10.5 Formes hermitiennes dans un espace
hermitien
Exercices
A.1 Vocabulaire de base
A.2 Polynômes
A.3 Quotients
A.4
Compléments sur la méthode du pivot. Indications sur les méthodes
directes
A.5 Inverses généralisées
A.6
Exponentielle d’une matrice
A.7 Espaces affines
A.8 Sur les
isométries dans le plan et dans l’espace
A.9 Groupes de
symétries
A.10 Sur la décomposition des transformations
orthogonales
A.11 Espaces symplectiques
A.12 Coniques et quadriques
A.13
Portrait de phase d’un système autonome
A.14 Formes
bilinéaires et sesquilinéaires. Table de correspondance
Quelques
références bibliographiques
Index
Date de parution : 01-2019
Ouvrage de 464 p.
17x24 cm