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Dynamique des structures (3° Éd.) Applications aux ouvrages de génie civil Coll. Cursus

Langue : Français

Auteur :

Couverture de l’ouvrage Dynamique des structures

Les nouvelles normes de calcul des bâtiments favorisent l'utilisation du calcul dynamique pour la détermination de la distribution des forces sismiques qui servent au dimensionnement des bâtiments, en particulier ceux de grande taille ou de forme irrégulière. Cet ouvrage répond à cette exigence. Il se caractérise par son approche théorique et algorithmique, combinée à de nombreux exemples d'application. Il s'intéresse, dans sa première partie, aux systèmes à un degré de liberté comprenant aussi les systèmes complexes pouvant se ramener à des systèmes à un seul degré de liberté. Il traite, dans sa seconde partie, des systèmes à plusieurs degrés de liberté, pour lesquels la résolution des problèmes fait appel à la méthode des éléments finis. La résolution des problèmes se fait dans les domaines du temps et des fréquences dans les espaces géométrique et modal. Les charges sismiques font l'objet d'un traitement particulier et deux chapitres y sont consacrés.

Ce texte sert à l'enseignement de la dynamique des structures aux cycles supérieurs de l'Université de Sherbrooke et de Polytechnique Montréal. Il a servi pendant plusieurs années, à l'enseignement de cette matière aux étudiants du DEA-MAISE du Laboratoire de mécanique et technologie de l'École normale supérieure de Cachan, aux étudiants de la maîtrise en génie civil et infrastructure de l'IUP de Grenoble et à ceux de l'école doctorale de l'Université Joseph Fourier à Grenoble. Quelques chapitres du livre ont été présentés en anglais aux étudiants du doctorat lors des rencontres ALERT à Aussois, en France, et dans le cours de génie parasismique de l'Université McGill à Montréal. Enfin, la version anglaise du livre a été utilisée à la Rose School à Pavia, en Italie, où l'auteur a été professeur invité de dynamique des structures.

AVANT-PROPOS

CHAPITRE 1 INTRODUCTION

1.1 Réponse dynamique

1.2 Charges dynamiques

1.2.1 Charges périodiques

1.2.2 Charges apériodiques

1.3 Considérations additionnelles

1.4 Coordonnées généralisées

1.5 Types de contraintes

1.6 Formulation des équations du mouvement

1.6.1 Deuxième loi du mouvement de Newton

1.6.2 Principe de D'Alembert

1.6.3 Principe des travaux virtuels

1.6.4 Principe de Hamilton

1.7 Degré de liberté dynamique

1.8 Modélisation d'un problème dynamique

1.8.1 Concentration de la masse

1.8.2 Méthode de Rayleigh-Ritz

1.8.3 Méthode des éléments finis

1.9 Analyse dynamique des structures

1.10 Essais dynamiques

1.11 Mesure de l'intensité des vibrations

1.12 Lectures suggérées

Partie I Systèmes à un degré de liberté

CHAPITRE 2 ÉQUATION DU MOUVEMENT

2.1 Paramètres de réponse

2.2 Composantes physiques

2.2.1 Ressorts en parallèle

2.3 Structure sur base immobile

2.4 Effets des forces de gravité

2.5 Mouvement de la base

CHAPITRE 3 RÉGIME LIBRE DE L'OSCILLATEUR ÉLÉMENTAIRE

3.1 Équation caractéristique

3.2 Régime libre conservatif

3.3 Représentation par un vecteur tournant

3.4 Représentation par des variables complexes

3.5 Conservation de l'énergie

3.6 Régime libre dissipatif

3.6.1 Amortissement sous-critique

3.6.2 Amortissement critique

3.6.3 Amortissement surcritique

3.7 Lieu des racines

3.8 Dissipation d'énergie dans un système sous-amorti

3.9 Amortissement de Coulomb

3.10 Décrément logarithmique

CHAPITRE 4 RÉPONSE À UNE CHARGE HARMONIQUE

4.1 Régime forcé conservatif

4.1.1 Réponse forcée à une force en cosinus

4.2 Phénomène de battement

4.3 Régime forcé dissipatif

4.4 Régime permanent dû à une force en cosinus

4.5 Résonance

4.6 Facteurs d'amplification dynamique

4.7 Pulsations de résonance

4.8 Puissance absorbée en régime permanent

4.9 Réponse complexe en fréquence

4.10 Diagrammes de Nyquist

4.11 Appareils de mesure des vibrations

4.11.1 Capteur de déplacement ou sismographe

4.11.2 Capteur de vitesse ou vélocimètre

4.11.3 Capteur d'accélération ou accéléromètre

4.12 Isolation des vibrations

4.12.1 Force verticale oscillatoire

4.12.2 Mouvement harmonique de la base

4.13 Excentricité de la masse

CHAPITRE 5 MESURE DE L'AMORTISSEMENT

5.1 Méthode d'affaiblissement

5.2 Méthode d'amplification

5.3 Méthode de l'acuité de résonance

5.4 Diagrammes de Nyquist

5.5 Énergie dissipée par amortissement

5.5.1 Énergie dissipée par amortissement visqueux

5.5.2 Amortissement interne dans les matériaux

CHAPITRE 6 RÉPONSE À UNE CHARGE PÉRIODIQUE

6.1 Fonction périodique représentée en série de Fourier

6.1.1 Série de Fourier sous forme trigonométrique

6.1.2 Série de Fourier sous forme complexe ou exponentielle

6.2 Spectre de Fourier

6.3 Réponse à une charge périodique

6.3.1 Charge décomposée en série de Fourier trigonométrique

6.3.2 Charge décomposée en série de Fourier exponentielle

CHAPITRE 7 RÉPONSE DANS LE DOMAINE DU TEMPS

7.1 Réponse à une impulsion

7.2 Impulsion de Dirac ou fonction delta

7.3 Réponse à une impulsion de Dirac

7.4 Intégrale de Duhamel

7.5 Intégrale de convolution

7.6 Évaluation numérique de l'intégrale de Duhamel

7.6.1 Système conservatif

7.6.2 Système dissipatif

7.7 Réponse à une charge échelon

7.8 Réponse à une force augmentant linéairement

7.9 Réponse à une force constante appliquée lentement

7.10 Réponse à un choc

7.10.1 Impulsion sinusoïdale

7.10.2 Impulsion rectangulaire

7.10.3 Impulsion triangulaire

7.10.4 Impulsion triangulaire symétrique

7.11 Spectre de réponse aux chocs

CHAPITRE 8 RÉPONSE DANS LES DOMAINES DE FOURIER ET DE LAPLACE

8.1 Transformation dans le domaine de Fourier

8.1.1 Transformation de Fourier

8.1.2 Fonctions de réponse en fréquence et impulsionnelle

8.1.3 Transformée de Fourier discrète

8.1.4 Transformée de Fourier rapide

8.1.5 Calcul de la transformée de Fourier rapide inverse

8.1.6 Décompte des opérations

8.1.7 Formulation matricielle

8.2 Transformation dans le domaine de Laplace

8.2.1 Transformée de Laplace

8.2.2 Solution des équations du mouvement

8.2.3 Fractions partielles

8.2.4 Réponses indicielle et impulsionnelle

8.2.5 Fonction de réponse en fréquence et fonction de transfert

8.2.6 Transformée en Z

CHAPITRE 9 INTÉGRATION TEMPORELLE DES SYSTÈMES LINÉAIRES

9.1 Généralités

9.2 Fonctions de chargement linéaires par morceau

9.3 Méthodes des différences finies

9.3.1 Méthode des différences centrées

9.3.2 Schémas d'intégration de Newmark

CHAPITRE 10 INTÉGRATION TEMPORELLE DES SYSTÈMES NON LINÉAIRES

10.1 Équation d'équilibre dynamique incrémentale

10.2 Méthode de Newmark

10.3 Réduction de l'erreur par la méthode de Newton

CHAPITRE 11 SYSTÈMES ÉLÉMENTAIRES GÉNÉRALISÉS

11.1 Assemblage de corps rigides

11.2 Système flexible

11.3 Système élémentaire généralisé

11.4 Méthode de Rayleigh

11.4.1 Système élémentaire

11.4.2 Système continu

11.4.3 Choix d'une fonction de déplacement

11.4.4 Méthode de Rayleigh améliorée

11.4.5 Système discret

CHAPITRE 12 RÉPONSE À UN SÉISME

12.1 réponse dans le temps

12.2 spectre de réponse

12.3 spectre de dimensionnement

12.4 utilisation des spectres de dimensionnement

12.5 Spectre de dimensionnement simplifié

12.6 Spectre d'aléa sismique uniformisé

12.7 Mesure de l'intensité d'un séisme

12.8 Spectre de Fourier, spectre de vitesse relative et énergie

12.9 Réponse d'un système élémentaire généralisé

12.10 Réponse non linéaire

12.11 Spectre de réponse inélastique

12.12 Spectre de dimensionnement non linéaire simplifié

PARTIE II Systèmes à plusieurs degrés de liberté

CHAPITRE 13 ÉQUATION DU MOUVEMENT

13.1 Modèle simplifié d'un bâtiment

13.2 Équation d'équilibre dynamique

13.3 Coefficients d'influence de rigidité

13.4 Condensation statique

13.5 Mouvement d'ensemble de la base d'un système plan

13.6 Structure avec mouvement différentiel des supports

13.6.1 Méthode des masses additionnelles

CHAPITRE 14 MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS

14.1 Aperçu de la méthode

14.2 Formulation globale par le principe des travaux virtuels

14.3 Formulation locale par le principe des travaux virtuels

14.4 Transformation de coordonnées

14.5 Déplacements, déformations et contraintes généralisés

14.6 Élément fini barre à deux noeuds

14.7 Élément fini poutre

14.8 Élément poutre-colonne plan

14.9 Effet d'une force axiale : matrice de rigidité géométrique

14.9.1 Élément fini barre à deux noeuds

14.9.2 Élément fini poutre-colonne à deux noeuds

14.10 Règles d'assemblage des matrices élémentaires

14.11 Propriétés de la matrice de rigidité

14.12 Résolution

14.13 Post-traitement

14.14 Convergence et compatibilité

14.15 Éléments isoparamétriques

CHAPITRE 15 ÉQUATIONS DU MOUVEMENT DE LAGRANGE

15.1 Introduction au calcul des variations

15.2 Notation du calcul des variations

15.3 Principe de Hamilton

15.4 Équations de Lagrange

15.4.1 Coordonnées généralisées indépendantes

15.4.2 Coordonnées généralisées liées par des contraintes

15.4.3 Équations de Lagrange pour les systèmes discrets

CHAPITRE 16 RÉGIME LIBRE DU SYSTÈME DISCRET CONSERVATIF

16.1 Signification physique des fréquences et modes propres

16.2 Fréquences propres de vibration

16.3 Modes propres de vibration

16.4 Formulation en fonction de la matrice de flexibilité

16.5 Charge de flambage

16.6 Orthogonalité des modes propres de vibration

16.6.1 Normalisation des vecteurs propres

16.7 Coordonnées normales

16.8 Équations découplées

16.9 Solution du régime libre conservatif

16.10 Signe des valeurs propres

16.11 Comparaison des propriétés dynamiques prédites et mesurées

16.12 Influence de la matrice de masse

CHAPITRE 17 RÉGIME LIBRE DU SYSTÈME DISCRET DISSIPATIF

17.1 Conditions pour l'obtention de modes propres classiques

17.2 Matrice d'amortissement classique

17.3 Superposition des matrices d'amortissement modal

17.4 Mesure de l'amortissement par excitation harmonique

17.5 Systèmes discrets dissipatifs avec modes réels

17.5.1 Solution du régime libre dissipatif

17.6 Systèmes discrets dissipatifs avec modes complexes

17.7 Solution par transformation dans l'espace d'état

17.8 Source de la complexité des modes

17.9 Mesure de la complexité des modes

17.10 Construction des matrices d'amortissement non proportionnelles

CHAPITRE 18 RÉPONSE À UNE CHARGE ARBITRAIRE PAR SUPERPOSITION MODALE

18.1 Équations découplées du mouvement

18.2 Méthode de superposition modale

18.2.1 Intégration numérique directe

18.2.2 Calcul de l'intégrale de Duhamel

18.2.3 Transformation de Fourier

18.2.4 Conditions initiales

18.2.5 Réponse totale

18.2.6 Calcul des forces élastiques

18.3 Erreur due à l'utilisation d'une base vectorielle propre tronquée

18.4 Amplification harmonique

18.5 Correction statique

18.6 Méthode des accélérations modales

18.7 Réponses des systèmes discrets avec modes propres complexes

18.8 Résumé de la méthode de superposition modale

CHAPITRE 19 RÉPONSE À UN TREMBLEMENT DE TERRE PAR SUPERPOSITION MODALE

19.1 Superposition modale

19.2 Masses modales effectives

19.3 Erreur due à l'utilisation d'une base vectorielle tronquée

19.4 Superposition des réponses spectrales

19.5 Réponse des systèmes avec supports multiples

CHAPITRE 20 PROPRIÉTÉS DES VALEURS ET DES VECTEURS PROPRES

20.1 Problème aux valeurs propres standard

20.2 Transformations par similitude

20.3 Quelques propriétés du problème aux valeurs propres symétrique

20.4 Problème aux valeurs propres généralisé symétrique

20.4.1 Propriétés fondamentales

20.4.2 Multiplicité des valeurs propres

20.5 Problème aux valeurs propres standard non symétrique

20.6 Décalage spectral

20.7 Masses nulles

20.8 Transformation du problème généralisé à la forme standard

20.9 Quotient de Rayleigh

20.9.1 Propriété d'homogénéité

20.9.2 Propriété de stationnarité

20.9.3 Propriété d'encadrement

20.10 Caractérisation maxmin et minmax des valeurs propres

20.11 Théorème d'entrelacement de Cauchy

20.12 Propriétés des polynômes caractéristiques

20.13 Théorème d'inertie de Sylvester

CHAPITRE 21 RÉDUCTION DE COORDONNÉES

21.1 Contraintes cinématiques

21.2 Condensation statique

21.3 Analyse de Rayleigh

21.4 Analyse de Rayleigh-Ritz

21.5 Vecteurs de Ritz dépendants du chargement

21.6 Méthode de réduction de Guyan-Irons

CHAPITRE 22 MÉTHODES NUMÉRIQUES D'EXTRACTION MODALE

22.1 Méthodes itératives

22.1.1 Itération inverse

22.1.2 Itération directe

22.1.3 Itération inverse avec décalage spectral

22.1.4 Itération inverse avec déflation orthogonale

22.2 Rotation et réflexion

22.3 Méthodes de transformation

22.3.1 Méthode de Jacobi

22.3.2 Méthode de Jacobi généralisée

22.3.3 Algorithme d'itération QR

22.3.4 Algorithme d'itération HQRI

22.4 Itération de sous-espaces

22.4.1 Algorithme

22.4.2 Choix des vecteurs d'itération de départ

CHAPITRE 23 INTÉGRATION TEMPORELLE DES SYSTÈMES LINÉAIRES

23.1 Méthodes à pas multiples

23.1.1 Équations du premier ordre

23.1.2 Équations du deuxième ordre

23.2 Méthode des différences centrées

23.3 Méthode de Houbolt

23.4 Méthodes de Newmark

23.5 Méthode Wilson-?

23.6 Méthodes de collocation

23.7 Méthode HHT-?

23.8 Estimation de la plus grande valeur propre

23.9 Stabilité d'un schéma d'intégration

23.9.1 Solutions exactes

23.9.2 Approximation discrète

23.9.3 Méthode des différences centrées

23.9.4 Méthode de Houbolt

23.9.5 Méthode de Newmark

23.9.6 Méthode Wilson-?

23.9.7 Méthode HHT-?

23.10 Conditions de stabilité d'un schéma d'intégration

23.10.1 Différences centrées

23.10.2 Méthodes de Newmark

23.10.3 Méthode Wilson-?

23.10.4 Méthode HHT-?

23.10.5 Comparaison des différentes méthodes

23.11 Consistance d'un schéma aux différences finies

23.12 Analyse de la précision

23.12.1 Précision de la méthode de Newmark

23.12.2 Mesure de la précision des schémas d'intégration

23.13 Filtrage des modes parasites et surestimation de la réponse

23.14 Choix d'une méthode d'intégration numérique directe

CHAPITRE 24 INTÉGRATION TEMPORELLE DES SYSTÈMES NON LINÉAIRES

24.1 Équation du mouvement incrémentale

24.2 Méthode explicite des différences centrées

24.3 Méthodes implicites de Newmark

24.4 Réduction de l'erreur par la méthode de Newton

24.5 Analyse non linéaire des bâtiments

24.5.1 Approche locale

24.5.2 Approche globale

24.5.3 Approche semi-globale

24.6 Exemple d'application

24.7 Utilisation des analyses non linéaires

ANNEXE A NOMBRES COMPLEXES

A.1 Définition

A.2 Représentation géométrique

A.3 Forme trigonométrique

A.4 Opérations

A.5 Racines n-ièmes

A.6 Théorème fondamental de l'algèbre

A.7 Théorème des racines complexes conjuguées

ANNEXE B NORMES VECTORIELLES ET MATRICIELLES

B.1 Normes vectorielles

B.2 Normes matricielles

ANNEXE C SOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES

C.1 Élimination de Gauss

C.2 Décomposition LU

C.3 Décomposition de Cholesky LcLcT

C.4 Décomposition LDLT

ANNEXE D VIBRATION TRANSVERSALE DES POUTRES ÉLANCÉES PRISMATIQUES

ANNEXE E LIGNES ÉLASTIQUES IMPORTANTES

ANNEXE F SOLUTIONS D'EXERCICES SÉLECTIONNÉS

BIBLIOGRAPHIE

INDEX

Elves-ingénieurs, ingénieurs du génie civil et des ponts et chaussées

Patrick Paultre est professeur au Département de génie civil de l'Université de Sherbrooke et a été titulaire de la Chaire de recherche du Canada en génie parasismique pendant quatorze ans. Il est aussi directeur et fondateur du Centre de recherche en génie parasismique et en dynamique des structures de cette même université et du Centre d'études interuniversitaire des structures sous charges extrêmes. M. Paultre est membre de plusieurs comités internationaux en génie parasismique et ses publications scientifiques lui ont mérité de nombreux prix internationaux. À l'échelle nationale, il a notamment reçu le prix Acfas Adrien-Pouliot soulignant sa collaboration avec des chercheurs français au regard du comportement dynamique des structures en béton à haute performance; le prix Armand-Frappier en 2015, la plus haute récompense du gouvernement du Québec attribuée à des scientifiques; et le prix A. B. Sanderson de la Société canadienne de génie civil pour son apport à l'ingénierie des structures au Canada. En 2018, il a été nommé Chevalier de l'Ordre national du Québec.

Date de parution :

Ouvrage de 965 p.

16.5x24.5 cm

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