Was ist Mathematik? (4^th Ed., 4. Aufl. 1992)

47 brauchen nur den Nenner n so groB zu wahlen, daB das Intervall [0, Ijn] kleiner wird als das fragliche Intervall [A, B], dann muB mindestens einer der Bruche mIn innerhalb des Intervalls liegen. Also kann es kein noch so kleines Intervall auf der Achse geben, das von rationalen Punkten frei ware. Es folgt weiterhin, daB es in jedem Intervall unendlich viele rationale Punkte geben muB, denn wenn es nur eine endliche Anzahl gabe, so konnte das Intervall zwischen zwei beliebigen benachbarten Punkten keine rationalen Punkte enthalten, was, wie wir eben sahen, unmoglich ist. § 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff 1. Einleitung Vergleicht man zwei Strecken a und b hinsichtlich ihrer GroBe, so kann es vor­ kommen, daB a in b genau r-mal enthalten ist, wobei r eine ganze Zahl darstellt. In diesem Fall konnen wir das MaB der Strecke b dUrch das von a ausdrucken, indem wir sagen, daB die Lange von b das r-fache der Lange von a ist. Oder es kann sich zeigen, daB man, wenn auch kein ganzes Vielfaches von a genau gleich b ist, doch a in, sagen wir, n gleiche Strecken von der Lange ajn teilen kann, so daB ein ganzes Vielfaches m der Strecke ajn gleich b wird: b=!!!...-a.

Erstes Kapitel Die natürlichen Zahlen.- 1. Das Rechnen mit ganzen Zahlen.- 1. Gesetze der Arithmetik.- 2. Darstellung der positiven ganzen Zahlen.- 3. Das Rechnen in nichtdezimalen Systemen.- 2. Die Unendlichkeit des Zahlensystems. Mathematische Induktion.- 1. Das Prinzip der mathematischen Induktion.- 2. Die arithmetische Reihe.- 3. Die geometrische Reihe.- 4. Die Summe der ersten n Quadrate.- 5. Eine wichtige Ungleichung.- 6. Der binomische Satz.- 7. Weitere Bemerkungen zur mathematischen Induktion.- Ergänzung zu Kapitel I. Zahlentheorie.- 1. Die Primzahlen.- 1. Grundtatsachen.- 2. Die Verteilung der Primzahlen.- a) Formeln zur Konstruktion von Primzahlen.- b) Primzahlen in arithmetischen Folgen.- c) Der Primzahlsatz.- d) Zwei ungelöste Probleme, die Primzahlen betreffen.- 2. Kongruenzen.- 1. Grundbegriffe.- 2. Der kleine Fermatsche Satz.- 3. Quadratische Reste.- 3. Pythagoreische Zahlen und großer Fermatscher Satz.- 4. Der euklidische Algorithmus.- 1. Die allgemeine Theorie.- 2. Anwendung auf den Fundamentalsatz der Arithmetik.- 3. Eulers?-Funktion. Nochmals kleiner Fermatscher Satz.- 4. Kettenbrüche. Diophantische Gleichungen.- Zweites Kapitel Das Zahlensystem der Mathematik.- 1. Die rationalen Zahlen.- 1. Messen und Zählen.- 2. Die innere Notwendigkeit der rationalen Zahlen. Prinzip der Verallgemeinerung.- 3. Geometrische Deutung der rationalen Zahlen.- 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff.- 1. Einleitung.- 2. Unendliche Dezimalbrüche.- 3. Grenzwerte. Unendliche geometrische Reihen.- 4. Rationale Zahlen und periodische Dezimalbrüche.- 5. Allgemeine Definition der Irrationalzahlen durch Intervallschachtelungen.- 6. Andere Methoden zur Definition der irrationalen Zahlen. Dedekindsche Schnitte.- 3. Bemerkungen über analytische Geometrie.- 1. Das Grundprinzip.- 2. Gleichungen von Geraden und Kurven.- 4. Die mathematische Analyse des Unendlichen.- 1. Grundbegriffe.- 2. Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen und die Nichtabzählbarkeit des Kontinuums.- 3. Cantors „Kardinalzahlen“.- 4. Die indirekte Beweismethode.- 5. Die Paradoxien des Unendlichen.- 6. Die Grundlagen der Mathematik.- 5. Komplexe Zahlen.- 1. Der Ursprung der komplexen Zahlen.- 2. Die geometrische Deutung der komplexen Zahlen.- 3. Die Moivresche Formel und die Einheitswurzeln.- 4. Der Fundamentalsatz der Algebra.- 6. Algebraische und transzendente Zahlen.- 1. Definition und Existenz.- Der Liouvillesche Satz und die Konstruktion transzendenter Zahlen.- Ergänzung zu Kapitel II. Mengenalgebra (Boolesche Algebra).- 1. Allgemeine Theorie.- 2. Anwendung auf die mathematische Logik.- 3. Eine Anwendung auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung.- Drittes Kapitel Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkörper.- Zahlkörper.- I. Teil. Unmöglichkeitsbeweise und Algebra.- 1. Grundlegende geometrische Konstruktionen.- 1. Rationale Operationen und Quadratwurzeln.- 2. Regelmäßige Vielecke.- 3. Das Problem des Apollonius.- 2. Konstruierbare Zahlen und Zahlkörper.- 1. Allgemeine Theorie.- 2. Alle konstruierbaren Zahlen sind algebraisch.- 3. Die Unlösbarkeit der drei griechischen Probleme.- 1. Verdoppelung des Würfels.- 2. Ein Satz über kubische Gleichungen.- 3. Winkeldreiteilung.- 4. Das regelmäßige Siebeneck.- 5. Bemerkungen zum Problem der Quadratur des Kreises.- II. Teil. Verschiedene Konstruktionsmethoden.- 4. Geometrische Abbildungen. Die Inversion.- 1. Allgemeine Bemerkungen.- 2. Eigenschaften der Inversion.- 3. Geometrische Konstruktion in verser Punkte.- 4. Halbierung einer Strecke und Bestimmung des Kreismittelpunktes mit dem Zirkel allein.- 5. Konstruktionen mit anderen Hilfsmitteln. Mascheroni-Konstruktionen mit dem Zirkel allein.- 1. Eine klassische Konstruktion zur Verdoppelung des Würfels.- Beschränkung auf die Benutzung des Zirkels allein.- 3. Das Zeichnen mit mechanischen Geräten. Mechanische Kurven. Zykloiden.- 4. Gelenkmechanismen. Peaucelliers und Harts Inversoren.- 6. Weiteres über die Inversion und ihre Anwendungen.- 1. Invarianz der Winkel. Kreisscharen.- 2. Anwendung auf das Problem des Apollonius.- 3. Mehrfache Reflexionen.- Viertes Kapitel Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien.- 1. Einleitung.- 1. Klassifizierung geometrischer Eigenschaften. Invarianz bei Transformationen.- 2. Projektive Transformationen S..- 2. Grundlegende Begriffe.- 1. Die Gruppe der projektiven Transformationen.- 2. Der Satz von Desargues.- 3. Das Doppel Verhältnis.- 1. Definition und Beweis der Invarianz.- 2. Anwendung auf das vollständige Vierseit.- 4. Parallelität und Unendlichkeit.- 1. Unendlich ferne Punkte als „uneigentliche Punkte“.- 2. Uneigentliche Elemente und Projektion.- 3. Doppelverhältnisse mit unendlich fernen Elementen.- 5. Anwendungen.- 1. Vorbereitende Bemerkungen.- 2. Beweis des Desarguesschen Satzes in der Ebene.- 3. Der Pascalsche Satz.- 4. Der Satz von Brianchon.- 5. Das Dualitätsprinzip.- 6. Analytische Darstellung.- 1. Einleitende Bemerkungen.- 2. Homogene Koordinaten. Die algebraische Grundlage der Dualität.- 7. Aufgaben über Konstruktionen mit dem Lineal allein.- 8. Kegelschnitte und Flächen zweiter Ordnung.- 1. Elementare metrische Geometrie der Kegelschnitte.- 2. Projektive Eigenschaften der Kegelschnitte.- 3. Kegelschnitte als Hüllkurven.- 4. Pascals und Brianchons allgemeine Sätze für Kegelschnitte.- 5. Das Hyperboloid.- 9. Axiomatik und nichteuklidische Geometrie.- 1. Die axiomatische Methode.- 2. Hyperbolische nichteuklidische Geometrie.- 3. Geometrie und Wirklichkeit.- 4. Poincarés Modell.- 5. Elliptische oder Riemannsche Geometrie.- Anhang. Geometrie in mehr als drei Dimensionen.- 1. Einleitung.- 2. Die analytische Definition.- 3. Die geometrische oder kombinatorische Definition.- Fünftes Kapitel Topologie.- 1. Die Eulersche Polyederformel.- 2. Topologische Eigenschaften von Figuren.- 1. Topologische Eigenschaften.- 2. Zusammenhang.- 3. Andere Beispiele topologischer Sätze.- 1. Der Jordansche Kurvensatz.- 2. Das Vierfarbenproblem.- 3. Der Begriff der Dimension.- 4. Ein Fixpunktsatz.- 5. Knoten.- 4. Topologische Klassifikation der Flächen.- 1. Das Geschlecht einer Fläche.- 2. Die Eulersche Charakteristik einer Fläche.- 3. Einseitige Flächen.- 1. Der Fünffarbensatz.- 2. Der Jordansche Kurvensatz für Polygone.- 3. Der Fundamentalsatz der Algebra.- Sechstes Kapitel Funktionen und Grenzwerte.- 1. Variable und Funktion.- 1. Definitionen und Beispiele.- 2. Das Bogenmaß eines Winkels.- 3. Graphische Darstellung einer Funktion. Inverse Funktionen.- 4. Zusammengesetzte Funktionen.- 5. Stetigkeit.- 6. Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 7. Funktionen und Transformationen.- 2. Grenzwerte.- 1. Der Grenzwert einer Folge an.- 2. Monotone Folgen.- 3. Die Eulersche Zahl e.- 4. Die Zahl ?.- 5. Kettenbrüche.- 3. Grenzwerte bei stetiger Annäherung.- 1. Einleitung. Allgemeine Definition.- 2. Bemerkungen zum Begriff des Grenzwertes.- 3. Der Grenzwert von $$\frac{{\sin x}}{x}$$.- 4. Grenzwerte für x ? ?.- 4. Genaue Definition der Stetigkeit.- 5. Zwei grundlegende Sätze über stetige Funktionen.- 1. Der Satz von Bolzano.- 2. Beweis des Bolzanoschen Satzes.- 3. Der Satz von Weierstrass über Extremwerte.- 4. Ein Satz über Zahlenfolgen. Kompakte Mengen.- 6. Einige Anwendungen des Satzes von Bolzano.- 1. Geometrische Anwendungen.- 2. Anwendung auf ein mechanisches Problem.- Ergänzung zu Kapitel VI. Weitere Beispiele für Grenzwerte und Stetigkeit.- 1. Beispiele von Grenzwerten.- 1. Allgemeine Bemerkungen.- 2. Der Grenzwert von qn.- 3. Der Grenzwert von $$\sqrt[n]{p}$$.- 4. Unstetige Funktionen als Limites stetiger Funktionen.- 5. Grenzwerte durch Iteration.- 2. Ein Beispiel für Stetigkeit.- Siebentes Kapitel Maxima und Minima.- 1. Probleme aus der elementaren Geometrie.- 1. Die maximale Fläche eines Dreiecks mit zwei gegebenen Seiten.- 2. Der Satz des Heron. Extremaleigenschaften von Lichtstrahlen.- 3. Anwendungen auf Probleme für Dreiecke.- 4. Tangentialeigenschaften der Ellipse und Hyperbel. Entsprechende Extremaleigenschaften.- 5. Extreme Abstände von einer gegebenen Kurve.- 2. Ein allgemeines Prinzip bei Extremalproblemen.- 1. Das Prinzip.- 2. Beispiele.- 3. Stationäre Punkte und Differentialrechnung.- 1. Extremwerte und stationäre Punkte.- 2. Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variabein. Sattelpunkte.- 3. Minimaxpunkte und Topologie.- 4. Der Abstand eines Punktes von einer Fläche.- 4. Das Schwarzsche Dreiecksproblem.- 1. Der Schwarzsche Spiegelungsbeweis.- 2. Ein zweiter Beweis.- 3. Stumpfwinklige Dreiecke.- 4. Dreiecke aus Lichtstrahlen.- 5. Bemerkungen über Reflexionsprobleme und ergodische Bewegung.- 5. Das Steinersche Problem.- 1. Das Problem und seine Lösung.- 2. Diskussion der beiden Alternativen.- 3. Ein komplementäres Problem.- 4. Bemerkungen und Übungen.- 5. Verallgemeinerung auf das Straßennetz-Problem.- 6. Extrema und Ungleichungen.- 1. Das arithmetische und geometrische Mittel zweier positiver Größen.- 2. Verallgemeinerung auf n Variablen.- 3. Die Methode der kleinsten Quadrate.- 7. Die Existenz eines Extremums. Das Dirichletsche Prinzip.- 1. Allgemeine Bemerkungen.- 2. Beispiele.- 3. Elementare Extremalprobleme.- 4. Schwierigkeiten bei komplizierteren Problemen.- 8. Das isoperimetrische Problem.- 9. Extremalprobleme mit Randbedingungen. Zusammenhang zwischen dem Steinerschen Problem und dem isoperimetrischen Problem.- 10. Die Variationsrechnung.- 1. Einleitung.- 2. Die Variationsrechnung. Das Fermatsche Prinzip in der Optik.- 3. Bernoullis Behandlung des Problems der Brachystochrone.- 4. Geodätische Linien auf einer Kugel. Geodätische Linien und Maxi-Minima.- 11. Experimentelle Lösungen von Minimumproblemen. Seifenhautexperimente.- 1. Einführung.- 2. Seifenhautexperimente.- 3. Neue Experimente zum Plateauschen Problem.- 4. Experimentelle Lösungen anderer mathematischer Probleme.- Achtes Kapitel Die Infinitesimalrechnung.- 1. Das Integral.- 1. Der Flächeninhalt als Grenzwert.- 2. Das Integral.- 3. Allgemeine Bemerkungen zum Integralbegriff. Endgültige Definition.- 4. Beispiele. Integration von xn.- 5. Regeln der Integralrechnung.- 2. Die Ableitung.- 1. Die Ableitung als Steigung.- 2. Die Ableitung als Grenzwert.- 3. Beispiele.- 4. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen.- 5. Differentiation und Stetigkeit.- 6. Ableitung und Geschwindigkeit. Zweite Ableitung und Beschleunigung.- 7. Die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung.- 8. Maxima und Minima.- 3. Die Technik des Differenzierens.- 4. Die Leibnizsche Schreibweise und das „Unendlich Kleine“.- 5. Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- 1. Der Fundamentalsatz.- 2. Erste Anwendungen. Integration von xr, cos x, sin x, arc tan x.- 3. Die Leibnizsche Formel für ?.- 6. Die Exponentialfunktion und der Logarithmus.- 1. Definition und Eigenschaften des Logarithmus. Die Eulersche Zahl e.- 2. Die Exponentialfunktion.- 3. Differentiationsformeln für ex, ax, x8.- 4. Explizite Ausdrücke für e, ex und Inx als Limites.- 5. Unendliche Reihen für den Logarithmus. Numerische Berechnung.- 7. Differentialgleichungen.- 1. Definition.- 2. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion. Radioaktiver Zerfall. Wachstumsgesetz. Zinseszins.- 3. Weitere Beispiele. Einfachste Schwingungen.- 4. Newtons Grundgesetz der Dynamik.- Ergänzung zu Kapitel VIII.- 1. Grundsätzliche Fragen.- 1. Differenzierbarkeit.- 2. Das Integral.- 3. Andere Anwendungen des Integralbegriffes. Arbeit. Länge.- 2. Größenordnungen.- 1. Die Exponentialfunktion und die Potenzen von x.- 2. Die Größenordnung von In (n!).- 3. Unendliche Reihen und Produkte.- 1. Unendliche Reihen von Funktionen.- 2. Die Eulersche Formel cos x + i sin x= eix.- 3. Die harmonische Reihe und die Zeta-Funktion. Das Eulersche Produkt für den Sinus.- 4. Ableitung des Primzahlsatzes mit statistischen Methoden.- Ergänzungen, Probleme und Übungsaufgaben.- Arithmetik und Algebra.- Analytische Geometrie.- Geometrische Konstruktionen.- Projektive und nichteuklidische Geometrie.- Topologie.- Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit.- Maxima und Minima.- Infinitesimalrechnung.- Integrationstechnik.- Hinweise auf weiterführende Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.