Versicherungsmathematik, Softcover reprint of the original 1st ed. 1958 Coll. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 98

(Zu Versicherungsmathematik 11. ) In diesem "höheren" Band der Versicherungsmathematik haben wir uns durch geeignete Stoffauswahl vor allem das Ziel gesteckt, die Ver­ sicherungsmathematiker davon zu überzeugen, daß wichtige technische Probleme der Versicherungspraxis nur durch Verwendung der \Vahr­ scheinlichkeitstheorie und Resultate aus der mathematischen Statistik gelöst werden können. Daneben wollten wir die mathematischen Eigen­ schaften derjenigen Funktionen beschreiben, die im wesentlichen in der Versicherungsmathematik benutzt werden und mit Hilfe eines geeigneten Integralbegriffes eine einheitliche Darstellung der kontinuierlichen und diskontinuierlichen Methode geben. Das Kapitel über die Risiko­ versicherungen gibt zum erstenmal in einem Lehrbuch eine mathema­ tische Theorie der Unfall- und Sachversicherung. Die Kapitel über die Ausgleichung von Sterbetafeln und der von Herrn JECKLIN verfaßte Anhang über die Versicherung erhöhter Risiken dürften vor allem auch den Praktiker interessieren. Die einzelnen Kapitel sind weitgehend unabhängig voneinander und können einzeln verstanden werden. Lediglich der im ersten Kapitel definierte Begriff der Versicherungsfunktion wird durchgehend benutzt. Zwecks Unabhängigkeit der einzelnen Kapitel wurden mit Absicht gelegentlich gewisse Aussagen wiederholt. Es mag auffallen, daß wir im Kapitel über die Mathematik all­ gemeiner Risikoversicherungen nur bestimmte Teile der Risikotheorie zur Darstellung brachten. Angesichts der Tatsache, daß ausgezeichnete moderne Darstellungen der Risikotheorie 1 vorliegen, haben wir auf ihre vollständige Aufnahme in dieses Kapitel verzichtet. Ferner werden in dieser Theorie maßtheoretische Begriffe und Sätze vorausgesetzt, deren Kenntnis für das Verständnis diesesBuches nicht unerläßlich ist.

I. Theorie der Versicherungsfunktionen..- 1.1. Stetige Funktionen.- 1.2. Einseitig stetige und stückweise stetige Funktionen.- 1.3. Funktionen von beschränkter Schwankung.- 1.4. Differenzierbare Funktionen.- 1.5. Definition der Versicherungsfunktionen.- 1.6. Definition der Integrale von Stieltjes und Schärf.- 1.7. Stieltjes-ScHÄrfsche Integrale für V-Funktionen.- 1.8. Iterierte Stieltjes-Schärfsche Integrale von V-Funklionen.- II. Mathematik der Lebensversicherung..- 2.1. Darstellung der Grundgrößen der Mathematik der Lebensversicherung.- 2.2. Darstellung einer allgemeinen Versicherung und ihrer Reserve.- 2.3. Funktionalgleichungen der Reserve.- 2.4. Prämienzerlegung in Spar- und Risikoteil.- 2.5. Variation der Rechnungsgrundlagen und ihr Einfluß auf Reserve und Gewinnbildung.- 2.6. Anwendung der Variationsformeln.- III. Mathematik allgemeiner Risikoversicherungen..- 3.1. Definition der Verteilungsfunktionen und ihre wichtigsten Eigenschaften.- 3.2. Die Binomial-Verteilung.- 3.3. Die Normalverteilung.- 3.4. Die logarithmische Normalverteilung.- 3.5. Die ?-Verteilung.- 3.6. Die Poisson-Verteilung.- 3.7. Die verallgemeinerte und zusammengesetzte PoissoN-Verteilung.- 3.8. Der Risikoprozeß.- 3.9. Prämien allgemeiner Risikoversicherungen.- 3.10. Schwankungsreserven.- 3.11. Bestimmung der Risikogewinnc.- 3.12. Numerische Berechnungen.- IV. Erneuerungstheorie.- 4.1. Grundlegende Gleichungen des Erneuerungsprozesses.- 4.2. Diskontinuierlicher Erneuerungsprozeß bei einer endlichen Ausscheideordnung.- 4.3. Diskontinuierlicher Erneuerungsprozeß bei einer unendlichen Ausscheideordnung, erzeugende Funktionen.- 4.4. Wahrscheinlichkeitstheoretische Stabilisierungskriterien.- 4.5. Lösung der Erneuerungs-Integralgleichung mittels sukzessiver Approximationen.- 4.6.Lösung der Erneuerungs-Integralgleichung mittels Laplace-Transformation.- 4.7. Wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung des Erneuerungsprozesses.- 4.8. Verallgemeinerung der Erneuerungsgleichung und numerische Werte.- V. Ausgleichung von Sterbetafeln..- 5.1. Statistische Auffassung einer Sterbetafel.- 5.2. Zusammenstellung der Ausgleichsmethoden.- 5.3. Die Interpolationsformeln von Newton und Karup.- 5.4. Das mechanische Ausgleichsverfahren von G. King.- 5.5. Sterbeformeln.- 5.6. Darstellung einiger analytischer Ausgleichsmethoden.- 5.7. Orthogonale Polynome.- 5.8. Ausgleichung mittels orthogonaler Polynome.- 5.9. Darstellung eines gemischten Ausgleichsverfahrens.- 5.10. Beurteilung der Güte einer Ausgleichung.- des Anhanges..- Grundlagen und Technik der Behandlung erhöhter Risiken in der Lebensversicherung..- I. Grundlagen..- A.1.1. Grundsätzliche Fragen.- A.1.2. Die statistische Bemessung des Risikos.- a) Sterblichkeitsstatistik nach Gruppen gleichen Erschwerungsgrundes.- b) Sterblichkeitsstatistik nach Gruppen gleichen Übersterblichkeitsgrades.- c) Statistik der Todesursachen.- A.1.3. Arbeitshypothesen.- a) Sterbetafeln für bestimmte Erschwerungsgründe.- b) Methode der Alterserhöhung.- c) Methode der multiplikativen Sterblichkeitserhöhung.- d) Methode der additiven Sterblichkeitserhöhung.- II. Technik..- A.2.1. Die Sonderprämie für erhöhtes Risiko.- a) Herleitung einiger einfacher Näherungsformeln.- b) Konstante multiplikative Sterblichkeitserhöhung.- c) Der konstanten multiplikativen Übersterblichkeit entsprechende Alterserhöhung.- d) Konstante additive Sterblichkeitserhöhung.- e) Variable Übersterblichkeit.- f) Einfluß der Arbeitshypothese konstanter Übersterblichkeit auf die Prämienhöhe.- g) Prämienrückgewähr.- A.2.2. Anpassung derVersicherungsleistungen.- a) Die Karenz.- b) Die Staffelung.- c) Kompensation der Sonderprämie durch angepaßte Versicherungsart.- d) Ersetzung temporärer Sonderprämien durch Summenkürzung.- A.2.3. Reserveberechnung.- a) Reserveberechnung nach den verschiedenen Arbeitshypothesen.- b) Einfluß der rechnungsmäßigen Übersterblichkeit auf den Reserveverlauf.- Namen- und Sachverzeichnis des Hauptteiles.- Namen- und Sachverzeichnis des Anhanges.