Neuere Untersuchungen über eindeutige analytische Funktionen (2° Éd., 2. Aufl. 1968. Softcover reprint of the original 2nd ed. 1968) Coll. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 2. Folge, Vol. 8

In der Monographie "Eindeutige analytische Funktionen" weist Herr R. NEVANLINNA auf eine Reihe von Einzelfragen hin, die aus Platzmangel nicht behandelt werden konnten. Es handelt sich dabei urn Untersuchungen, die mit den beiden Hauptsiitzen der Wertver­ teilung in enger Beziehung stehen. Mit dem vorliegenden Bericht wird der Versuch gemacht, diese Lucke auszufullen. Eine solche Zielsetzung bedingt insofern eine Abweichung von der ublichen Berichtsform, als die Beweise eingehender dargestellt werden mussen. In der Einleitung habe ich versucht, die zentralen Fragen der Wertverteilungslehre an den rationalen Funktionen zu erliiutern. Da­ nach ordnet sich die Theorie des Maximalgliedes bei ganzen trans­ zendenten Funktionen organisch in den Bericht ein und erscheint nicht nur als ein wichtiges Hilfsmittel beim Studium der L6sungen gewohnlicher Differentialgleichungen. Die Tatsache, daB die Wert­ verteilungslehre sich bei manchen Untersuchungen uber die Losungen gewohnlicher Differentialgleichungen als besonders zugkriiftiges Hilfs­ mittel erweist, rechtfertigt einen kurzen Exkurs in diese Theorie. 1m Zusammenhang mit der Umkehrung der zweiten Haupt~ ungleichung und mit dem Umkehrproblem der Wertverteilung spielen die einfach zusammenhangenden Flachen mit endlich vielen Grund­ punkten eine ausgezeichnete Rolle. Zu ihrer Behandlung eignen sich quasikonforme Abbildungen. Aus diesem Grunde werden konforme und quasikonforme Abbildungen von Ringgebieten ausfuhrlich er­ ortert, insbesondere ein Satz uber die Verzerrung bei quasikonformen Abbildungen. Wie wichtig Modulabschiitzungen fur die Theorie der konformen Abbildung sind, zeigen eindringlich die Untersuchungen von H. GROTZSCH, auf die gelegentlich hingewiesen wird.

I. Theorie des Maximalgliedes von Wiman-Valiron.- Zusammenhang zwischen Zentralindex, Maximalglied und Maximalbetrag bei ganzen transzendenten Funktionen und ihren Ableitungen. Beweis des kleinen Picard sehen Satzes..- II. Die beiden Hauptsätze der Wertverteilungslehre.- Erster und zweiter Hauptsatz. Folgerungen aus dem zweiten Hauptsatz und der Hauptungleichung. Ordnung der Ableitung einer meromorphen Funktion. Zur Defektrelation..- III. Weitere Folgerungen aus den Hauptsätzen. Ergänzungen.- Ordnung und Defektverteilung. Zielwerte und defekte Werte. Erweiterung der Cartan sehen Beziehung durch Frostmann und Lehto. Beiträge von Hayman-Stewart und Dinghas zur Theorie der Überlagerungsflächen. Funktionen mit mehrfach zusammenhängendem Existenzgebiet..- IV. Umkehrung des zweiten Hauptsatzes.- Abschätzung der Schmiegungsfunktion. Umkehrung des zweiten Hauptsatzes für Funktionen, die Flächen mit endlich vielen Grundpunkten erzeugen. Verallgemeinerungen von Selberg und Collingwood..- V. Anwendungen auf gewöhnliche Differentialgleichungen.- Ganze transzendente Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen. Ordnung und Defektverteilung der Lösungen linearer Differentialgleichungen. Satz von Malmquist. Riccatische und Painlevesche Differentialgleichungen..- VI. Konforme und quasikonforme Abbildungen von Ringgebieten.- Der Modul eines Ringgebietes. Extremalgebiet von GröTzsch. Reduzierter Modul. Der Modulsatz. Quasikonforme Abbildungen. Verzerrung bei quasikonformer Abbildung..- VII. Über das Typenproblem.- Einfluß der Grundpunkte. Kriterium von R. Nevanlinna-Wittich. Kriterien für spezielle Flächen..- VIII. Das Umkehrproblem der Wert Verteilung.- Flächen mit endlich vielen periodischen Enden. Periodisch endende Flächen. Funktionen mit maximalemVerzweigungs-index. Funktionen mit unendlich vielen positiven Verzwei-gungsindizes. Streckenkomplexe mit doppeltperiodischen Enden..- IX. Funktionen mit beschränktem Dirichlet-Integral.- Interpolationsaufgaben. Schlitzabbildungen. Kriterien für D-hebbare Punktmengen. Zusammenhang mit der extremalen Länge..