Fastperiodische Funktionen (2° Éd., 2. Aufl. 1967. Softcover reprint of the original 2nd ed. 1967) Coll. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol. 61

Das vorliegende Buch handelt von den fastperiodischen Funktionen auf Gruppen. Die Theorie dieser Funktionen erfaßt als Spezialfälle unter anderem die Fourierreihen periodischer Funktionen, die eigent­ lichen von H. BOHR geschaffenen fastperiodischen Funktionen und die Kugelfunktionen. Im Grunde ist die Theorie der fastperiodischen Funk­ tionen auf Gruppen nichts anderes als die Darstellungstheorie beliebiger, also vor allem auch unendlicher Gruppen. Als wichtigste Anwendung der Hauptsätze über fastperiodische Funktionen auf Gruppen darf man wohl die v. Neumannsehe Beweisführung ansehen, welche zeigt, daß jede kompakte, n-dimensionale Gruppe eine treue endliche unitäre Dar­ stellung besitzt. Unter Benutzung von Sätzen aus v. Neumanns Theorie der linearen Gruppen kann hieraus gefolgert werden, daß jede kompakte n-dimensionale Gruppe eine Liesche kontinuierliche Gruppe ist. Das bekannte V. Hilbertsche Problem, welches sich allerdings auf noch allgemeinere, etwa lokalkompakte Gruppen bezieht, ist durch diesen Satz für den Fall kompakter Gruppen befriedigend gelöst. Alle an­ gedeuteten Probleme, Sätze und Zusammenhänge werden in diesem Buche erläutert und bewiesen. Obwohl damit nur ein gewisser (wie mir scheint, besonders schöner) Ausschnitt aus dem Gesamtgebiet der Theorie fastperiodischer Funktionen wiedergegeben wird, dürfte der Leser wohl trotzdem durch die Lektüre in den Stand gesetzt werden, jede Abhandlung, welche sich auf fastperiodische Funktionen bezieht, ohne Schwierigkeiten zu verstehen. In dem letzten Abschnitt dieses Buches wird außerdem versucht, in kurzen Worten einen Überblick über das Gesamtgebiet der fastperiodischen Funktionen zu geben. Einzelne Literaturhinweise, die diesem Abschnitt beigefügt sind, wer­ den möglicherweise als dngenehm empfunden werden.

I. Von den Darstellungen endlicher Gruppen.- § 1. Definition der Gruppe.- § 2. Endliche zyklische Gruppen.- § 3. Darstellungen und Darstellungsmoduln.- § 4. Normaldarstellungen.- § 5. Das Schursche Lemma.- § 6. Endliche Gruppen.- II. Abstrakte Theorie der fastperiodischen Funktionen auf Gruppen.- Begriff der fastperiodischen Funktion.- § 7. Die Definition.- § 8. Beschränkte Darstellungen und Fastperiodizität.- Mittelwerttheorie.- § 9. Existenz des Mittelwertes.- § 10. Der kombinatorische Hilfssatz.- § 11. Eigenschaften des Mittelwertes.- §12. Fastperiodische Funktionen von 2 Variabeln.- Der Hauptsatz.- §13. Moduln fastperiodischer Funktionen.- § 14. Die Metrik im Räume der fastperiodischen Funktionen.- §15. Die Faltung.- § 16. Aufspaltung in orthogonale Teilmoduln.- § 17. Auffindung endlicher Teilmoduln.- § 18. Beweis des Hauptsatzes.- III. Periodische Funktionen.- § 19. Der Weierstraß sehe Approximationssatz.- § 20. Der Satz von Fejér.- §21. Weitere Sätze über Fourierreihen.- §22. Periodische Funktionen von mehreren Variabein.- IV. Die eigentlichen fastperiodischen Funktionen.- Folgerungen aus der abstrakten Theorie.- §23. Der Approximationssatz.- §24. Die eigentlichen fastperiodischen Funktionen.- Elementarer Beweis des Approximationssatzes.- §25. Zurückführung des Approximationssatzes auf einen Satz über Fastperioden.- § 26. Zurückführung des Satzes über Fastperioden auf einen Satz über ganze Zahlen.- § 27. Beweis des Satzes über ganze Zahlen.- Fourierreihen eigentlich fastperiodischer Funktionen.- §28. Der Mittelwertsatz.- § 29. Die Hauptsätze über Fourierreihen eigentlich fastperiodischer Funktionen.- V. Theorie der Darstellungen und Fourierreihen auf beliebigen Gruppen.- §30. Die beschränkten Darstellungen.- §31. Fourierreihen fastperiodischer Funktionen.- §32. Fourierreihen in Moduln fastperiodischer Funktionen.- § 33. Summierung von Fourierreihen.- § 34. Linear unabhängige Fourierexponenten.- VI. Kompakte Gruppen.- Die fastperiodischen Funktionen auf kompakten Gruppen.- §35. Begriffe der mengentheoretischen Topologie.- § 36. Der Hauptsatz über fastperiodische Funktionen im Falle kompakter Gruppen.- Zu Hilberts fünftem Problem.- § 37. Formulierung des Hauptsatzes.- §38. eA und log A.- § 39. Die Infinitesimalgruppe einer linearen Gruppe.- §40. Die Infinitesimalgruppe einer abstrakten kompakten Gruppe.- Konstruktion einer endlichen Darstellung.- §41. Formulierung von Hilfssätzen.- §42. Beweis des Hauptsatzes.- § 43. Beweis der Hilfssätze.- Die fastperiodischen Funktionen auf halbeinfachen Gruppen.- §44. Halbeinfache Gruppenkeime.- § 45. Der Stetigkeitssatz von V. D. Waerden.- VII. Kugelfunktionen.- §46. Fastperiodische Funktionen in homogenen Räumen.- §47. Die Drehungsgruppe.- §48. Darstellungen der Drehungsgruppe.- §49. Die fastperiodischen Funktionen der Kugel.- Anhang. Literaturhinweise.