Analysis, Softcover reprint of the original 1st ed. 1976 Eine anwendungsbezogene Einführung Coll. Mathematik für das Lehramt an Gymnasien

Der Studierende des Faches Mathematik steht häufig vor dem Problem: Wozu sind die mathematischen Begriffe, Sätze und Denkweisen gut, die in großer Vielzahl auf ihn ein­ stürmen? Wozu werden die Ergebnisse gebraucht, flir welche weiteren überlegungen sind sie wiederum Grundlage und Ausgangspunkt? Die vorliegende Einführung in die Analysis hat zum Ziel, dem Leser bei diesen Frage­ stellungen zu helfen, ihm Beweggründe flir die wichtigsten Grundbegriffe, Ansätze und Ziele der Differential- und Integralrechnung zu vermitteln. Als Schlüsselproblem erweist sich dabei die Frage nach den Lösungen von Gleichungen und Gleichungssystemen. Hiervon ausgehend werden Abbildungsbegriff, Konvergenzbe­ griff (Iteration), Stetigkeit (Lösungsexistenz ), Differenzierbarkeit (Newton-Verfahren) und vieles mehr erschlossen. Andere Inhalte wurzeln auf natürliche Weise in geometri­ schen Fragestellungen, wie die Integralrechnung (Flächeninhaltsberechnung) und die trigonometrischen Funktionen (Entfernungsbestimmung). Der Leser erhält damit eine Richtschnur in die Hand, mit der sich die Differential- und Integralrechnung überschau­ bar gliedert. Bei der Stoffauswahl wurden Inhalte bevorzugt, die einerseits breiten Anwendungsbezug haben, andererseits vorbereitend zu Begriffsbildungen der höheren Analysis hinführen, insbesondere zur Funktionalanalysis, wie z. B. der Banachsche Fixpunktsatz, der Bor­ suksche Antipodensatz, der Brouwersche Fixpunktsatz, das Newton-Verfahren für mehrere Veränderliche und anderes mehr. Die numerischen Verfahren, die in diesem Buch behandelt werden, lassen sich bequem auf Kleinrechnern durchführen, wie sie heute in der Schule vielfach verwendet werden. Schließlich sei erwähnt, daß bei der Einführung der Konvergenz wie auch der Stetigkeit ein neuer Weg beschritten wird.

1 Gleichungssysteme — Abbildungen.- 2 Kontraktive Abbildungen — Konvergenz.- 3 Lösungsexistenz — Stetigkeit.- 4 Linearisierung von Funktionen — Differentialrechnung einer reellen Veränderlichen.- 5 Flächen- und Rauminhalte — Integralrechnung.- 6 Behandlung von Gleichungssystemen — Differentialrechnung mehrerer reeller Veränderlicher.- Anhang: Reelle Zahlen.- A1 Das Axiomensystem der reellen Zahlen.- A2 Abgeleitete Regeln.- A3 Natürliche Zahlen.- A4 Ganze, rationale und irrationale Zahlen.- A5 Archimedische Eigenschaft und Intervallschachtelungsprinzip.- A6 Dezimalzahlen.- A7 n-te Wurzel aus a.- Literatur.- Symbole.