Allgemeine Topologie mit Anwendungen, 1977

Bevor wir ein erstes (und letztes) Mal versuchen, die Aufgaben der Topologie zu formu­ lieren, sollen einige Bemerkungen verdeutlichen, urn was es geht, wenn von einer Grund­ struktur die Rede ist. Wenn sich der Student eines Tages entschlieBt, emsthaft Topologie zu lemen, ist er ihr liingst bei verschiedenen Gelegenheiten in seiner Ausbildung begegnet. Er beschiiftigt sich drum mit der "Grundstruktur" Topologie in einer Situation, in der das mathema­ tische ProblembewuBtsein erheblich gereift ist und als Motivationshilfe herangezogen werden kann. Nun gibt es - und besonders die kiinftigen Lehramtskandidaten sollten dies bedenken - seit einigen Jahren im Zuge der "Neuen Mathematik" Bestrebungen, Topologie als eine Grundstruktur mathematischer Vorerfahrungen anzusehen. In Lehr­ btichem fUr ABC-Schtitzen findet man ganze Abschnitte tiber Begriffe wie Inneres, Rand, offen, zusammenhiingend, Kurve oder Graph, die didaktische Literatur zur Primarstufe ist voll von Ratschliigen, wie man naive Vorstellungen vom Verbiegen, Strecken und Stauchen fUr den Unterricht nutzbar machen kann, und in jedem Buch zur Unterhal­ tungsmathematik findet man Eulers Brtickenproblem und das Mobiusband. Nattirlich werden wir die Frage, ob es sich bei der Topologie in einem - die Bourbakischen Vor­ stellungen weit tibersteigenden - Sinne urn eine psychologische Grundstruktur riium­ licher Wahrnehrnung handelt, schlieBlich den Entwicklungspsychologen tibedassen mtis­ sen. FUr den Mathematiker ist jedoch interessant, daB viele Fragestellungen der Topologie unmittelbar aus alltiiglichen oder elementarmathematischen tlbedegungen erwachsen und daB die Delikatesse der Antworten dem interessierten Laien doch nur schwer ver­ stiindlich zu machen ist.

I: Räume und Abbildungen.- 1. Konvergenz metrische Räume, Konvergenz von Folgen und Filtern, Umgebungsräume.- 2. Offene Mengen topologische Räume, Basis, Subbasis.- 3. Stetigkeit stetige Funktionen, 1. Abzählbarkeitsaxiom, gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen.- 4. Besondere Punkte und Mengen in topologischen Räumen abgeschlossene Mengen, Rand, Unstetigkeitsstellen von Funktionen.- 5. Initiale Konstruktionen Unterräume, Produkte, topologische Gruppen und Vektorräume.- 6. Finale Konstruktionen Quotienten, Summen, stückweise definierte stetige Funktionen, finale Konstruktionen bei Gruppen und Vektorräumen.- 7. Gleichmäßige Strukturen uniforme Räume, Systeme von Pseudometriken, gleichmäßig stetige Abbildungen, initiale Konstruktionen.- 8. Vollständigkeit Fortsetzung gleichmäßig stetiger Abbildungen, Vervollständigung, Satz von Baire, Fixpunktsatz von Banach.- II: Topologische Invarianten.- 9. Trennung Trennungsaxiome, Eindeutigkeit der Vervollständigung und Fortsetzung, Uniformisierbarkeit, Einbettung vollständig regulärer Räume, Satz von Tietze-Urysohn.- 10. Zusammenhang.- 11. Kompaktheit verschiedene Kompaktheitsbegriffe, kompakte uniforme Räume, Produktsatz, lokalkompakte Räume, Ein-Punkt-Kompaktifizierung.- Anwendungen des Kompaktheitsbegriffes Sätze von Stone-Weierstraß, über endlich-dimensionale Vektorräume, von Alaoglu-Bourbaki, Stone-Cech-Kompaktifizierung, ?-kompakte Räume und kompakte Konvergenz, Kontinua.- 12. Metrisierung und Abzählbarkeit separable Räume, 2. Abzählbarkeitsaxiom, Metrisationssatz von Urysohn, Parakompaktheit, Satz von Stone, Zerlegung der Eins.- III: Stetigkeitsgeometrie.- 13. Kurven Peano-Kurven, Jordan-Kurven, Sätze von Banach-Mazur, Moore und Hahn-Mazurkiewicz-Sierpinski, ebene Kurven, Satz von Schoenflies.- 14. Homotopie kompakt-offene Topologie, Homotopiegruppen, verallgemeinerte Zwischenwertsätze, Berechnung von Homotopiegruppen, Abbildungsgrad, Invarianz von Dimension bzw. offenen Mengen, Satz von Jordan-Brouwer.- 15. Mannigfaltigkeiten lokal m-dimensionale Räume, Einbettung von Mannigfaltigkeiten, eindimensionale Mannigfaltigkeiten, Verklebung topologischer Räume, 2- und höherdimensionale Mannigfaltigkeiten, Gruppenoperationen.- Verzeichnis der Abkürzungen.- Literaturhinweise.- Namens- und Sachverzeichnis.